Chuẩn bị đến ngày sinh nhật, bạn Bình muốn trang trí căn phòng trọ của mình đẹp hơn. Trước khi trang trí, Bình gắn 2 móc treo vào các vị trí $ P,Q, $ rồi căng một sợi dây từ $ P $ đến $ Q. $ Tiếp theo, bạn gắn 2 móc treo vào các vị trí $ A $ và $ B, $ sau đó lấy một điểm $ M $ nằm giữa đoạn thẳng $ PQ $ rồi tiếp tục căng dây từ $ M $ đến $ A $ và từ $ M $ đến $ B. $ Xét một hệ trục tọa độ $ Oxyz $ sao cho $ P\left ( { 1;1;0 } \right ) $, $ Q\left ( { 3;0;1 } \right ) $ $ A\left ( { 1;0;-1 } \right ) $, $ B\left ( { 2;1;1 } \right ) $ đơn vị trên mỗi trục là mét. Khi tổng độ dài các đoạn dây mà Bình sử dụng là ngắn nhất thì khoảng cách từ $ M $ đến $ P $ bằng bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cách 1: Dễ thấy $ P,Q,A,B $ cùng thuộc mặt phẳng $ \left ( { PQA } \right ):x+y-z-2=0 $ và $ A,B $ nằm về hai phía của $ PQ. $ Khi đó $ AB∩PQ=M\left ( { \frac { 5 } { 3 };\frac { 2 } { 3 };\frac { 1 } { 3 } } \right ) $ thỏa tổng độ dài các đoạn dây là ngắn nhất. $ PM=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }≈0,8 $. Cách 2: Gọi $ \left ( { \alpha } \right ),\,\,\left ( { \beta } \right ) $ là hai mặt phẳng lần lượt qua $ A $ và $ B $ cùng vuông góc với $ PQ. $ $ \overset\rightarrow { PQ }=\left ( { 2;-1;1 } \right )⇒PQ:\left \{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=1-t \\ z=t \end{array} \right.⇒M\left ( { 1+2t;1-t;t } \right ) $. $ \left ( { \alpha } \right ):2x-y+z-1=0⇒PQ∩\left ( { \alpha } \right )=A'\left ( { 1;1;0 } \right )≡P $. $ \left ( { \beta } \right ):2x-y+z-4=0⇒PQ∩\left ( { \beta } \right )=B'\left ( { 2;\frac { 1 } { 2 };\frac { 1 } { 2 } } \right ) $ $ ⇒PB'+B'Q=PQ $ hay $ B' $ thuộc đoạn $ PQ. $ Khi đó: $ \min\left ( { MA+MB } \right )=\sqrt[] { { \rm{ d } } ^ { 2 } \left ( { \left ( { \alpha } \right ),\,\left ( { \left ( { \beta } \right ) } \right ) } \right )+\left[ { \rm{ d } }\left ( { A,\,PQ } \right )+{ \rm{ d } }\left ( { B,\,PQ } \right ) \right] ^ { 2 } } $ $ { \rm{ d } }\left ( { \left ( { \alpha } \right ),\,\left ( { \beta } \right ) } \right )=\frac { 4-1 } { \sqrt[] { 6 } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $ và $ { \rm{ d } }\left ( { A,\,PQ } \right )=\sqrt[] { 2 },{ \rm{ d } }\left ( { B,\,PQ } \right )=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Tổng độ dài ngắn nhất là: $ l=PQ+MA+MB=\sqrt[] { 6 }+\sqrt[] { \left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \sqrt[] { 2 }+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 6 }≈4,9. $ Lúc đó ta có: $ \frac { AP } { AP+{ \rm{ d } }\left ( { B,\,PQ } \right ) }=\frac { PM } { { \rm{ d } }\left ( { \left ( { \alpha } \right ),\,\left ( { \beta } \right ) } \right ) }⇒PM=\frac { AP.{ \rm{ d } }\left ( { \left ( { \alpha } \right ),\,\left ( { \beta } \right ) } \right ) } { AP+{ \rm{ d } }\left ( { B,\,PQ } \right ) }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }≈0,8 $. Cách 3: Ta có $ \overset\rightarrow { PQ }=\left ( { 2;-1;1 } \right )⇒PQ:\left \{ \begin{array}{l} x=1+2t \\ y=1-t \\ z=t \end{array} \right.⇒M\left ( { 1+2t;1-t;t } \right ) $. $ MA+MB=\sqrt[] { 6t ^ { 2 } +2 }+\sqrt[] { 6t ^ { 2 } -6t+2 }=\sqrt[] { \left ( { \sqrt[] { 6 }t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }+\sqrt[] { \left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 }-\sqrt[] { 6 }t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } $. $ { \rm{ Suy ra: } }MA+MB\geq \sqrt[] { \left ( { \sqrt[] { 6 }t+\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 }-\sqrt[] { 6 }t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \sqrt[] { 2 }+\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } $$ =\sqrt[] { 6 } $. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \sqrt[] { 6 }t.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=\left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 }-\sqrt[] { 6 }t } \right ).\sqrt[] { 2 }⇔t=\frac { 1 } { 3 }⇒M\left ( { \frac { 5 } { 3 };\frac { 2 } { 3 };\frac { 1 } { 3 } } \right ) $. Vậy $ PM=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }≈0,8 $.