Các điểm $ A(0;-1;0),B(1;-4;0) $ và $ C(4;-3;0) $ là các đỉnh thu được của đáy một kim tự tháp khối chóp tứ giác đều, đã bị sụp một phần và cần được phục dựng. Mỗi đơn vị trong hệ tọa độ ứng với 100 m. Gọi tâm $ M $ của hình vuông và tọa độ đỉnh $ D $ còn thiếu. Trên đỉnh $ M $ theo phương thẳng đứng là đỉnh $ S $ của kim tự tháp, với chiều cao 200 m. Theo mô tả, ánh sáng mặt trời vuông góc với mặt bên $ DAS $ chiếu qua điểm $ Q\left ( { \frac { 1 } { 2 };\frac { 5 } { 3 };\frac { 7 } { 2 } } \right ) $ vào một lối vào bí mật của kim tự tháp. Xác định được tọa độ điểm $ P\left ( { a;b;c } \right ) $ là vị trí ban đầu của lối vào bí mật này. Tính $ 2a+3b+c $

Vì $ A,B,C $ là ba đỉnh liên tiếp của hình vuông, $ D=\left ( { 3,0,0 } \right ) $ Tâm hình vuông: $ M=(2,-2,0). $ Cao kim tự tháp $ =200 m=2 $ (đv) theo phương thẳng đứng $ ⇒ $ $ S\left ( { 2,-2,2 } \right ) $ Có $ \overset\rightarrow { DA }=(-3,-1,0),\overset\rightarrow { DS }=(-1,-2,2). ⇒ $ pháp tuyến $ n=\left[ \overset\rightarrow { DA },\overset\rightarrow { DS } \right]=(-2,6,5) $ Suy ra phương trình mặt phẳng $ \left ( { DAS } \right ):-2x+6y+5z+6=0 $ Vì ánh sáng mặt trời vuông góc với mặt $ DAS $ nên hướng tia là $ n=(-2,6,5) $ Đường thẳng đi qua $ Q $, vuông góc với $ DAS $ có phương trình: $ \ell :\left \{ \begin{array}{l} x=\frac { 1 } { 2 }-2t \\ y=\frac { 5 } { 3 }+6t \\ z=\frac { 7 } { 2 }+5t \end{array} \right.,t\in \mathbb{R} $ Giao với $ DAS:-2x+6y+5z+6=0 $ cho $ t=-\frac { 1 } { 2 } $. Suy ra $ P\left ( { \frac { 3 } { 2 },-\frac { 4 } { 3 },1 } \right ). $