Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục toạ độ $Oxyz$ với $O$ là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $Oz$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước và xem như trục $Oy$ cùng phương với cầu. Dây cáp $AD$ (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh $D$ thuộc trục $Oz$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$, trong đó điểm $D$ là đỉnh cột trụ cách mặt nước $326\,m$, điểm $A$ cách mặt nước $82\,m$ và cách trục $Oz$ $352\,m$. Giả sử ta dùng một đoạn dây nối điểm $N$ trên dây cáp $AD$ và điểm $M$ trên thành cầu, biết $M$ cách mặt nước $82\,m$ và $MN$ song song với cột trụ. Tính độ dài đoạn $MN$, biết điểm $M$ cách trục $Oz$ một khoảng bằng $250\,m$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải Điểm $A$ nằm trong mặt phẳng $(Oyz)$ và cách mặt nước $82\,m$, cách trục $Oz$ $352\,m$, nên $A(0; 352; 82)$. Điểm $D$ thuộc trục $Oz$ và cách mặt nước $326\,m$, nên $D(0; 0; 326)$. Phương trình đường thẳng $AD$ là: $$ \begin{cases} x = 0 \\ y = 352 - 352t \\ z = 82 + 244t \end{cases} \quad (t \in [0; 1]) $$ Điểm $N$ trên dây cáp có tọa độ $N(0; 352 - 352t; 82 + 244t)$. Điểm $M$ trên thành cầu cách mặt nước $82\,m$ và cách trục $Oz$ $250\,m$, nên $M(0; 250; 82)$. Vì $MN$ song song với cột trụ ($Oz$) nên $M$ và $N$ có cùng hoành độ và tung độ: $$ \begin{cases} 0 = 0 \\ 352 - 352t = 250 \end{cases} \iff t = \frac{102}{352} = \frac{51}{176} $$ Cao độ của $N$ là $z_N = 82 + 244 \cdot \frac{51}{176} = 82 + 70,68 \approx 152,68$. Độ dài đoạn $MN = |z_N - z_M| = |152,68 - 82| = 70,68 \approx 70,7\,(m)$.