Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm $ X $ ở trên mặt đất tới đỉnh $ T $ của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $ T(40;60;150) $ và $ X(100;-40;0) $ trong hệ tọa độ không gian $ Oxyz, $ với $ O $ là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $ A(40;30;-20) $ nằm dưới một cái hố tới một điểm $ M(a;b;c) $ nằm trên dây cáp sao khoảng cách $ MA $ này là nhỏ nhất. Tính $ a+b+c. $

$ MA $ nhỏ nhất khi và chỉ khi $ MA⊥XT $ hay $ M $ là giao điểm của mặt phẳng $ (\alpha ) $ đi qua $ A $ và vuông góc $ XT $ với $ XT $. $ (\alpha ){ \rm{ có } }\left \{ \begin{array}{l} { \rm{ qua } }A(40;30;-20) \\ { \rm{ VTPT } }n=\overset\rightarrow { XT }=(-60;100;150)=-10(6;-10;-15) \end{array} \right.⇒(\alpha ):6x-10y-15z-240=0 $ Phương trình tham số của $ XT:\left \{ \begin{array}{l} x=40+6t \\ y=60-10t \\ z=150-15t \end{array} \right. $ Suy ra: $ 6(40+6t)-10(60-10t)-15(150-15t)-240=0⇔361t-2850=0⇔t=\frac { 150 } { 19 }. $ Tọa độ của $ M $ là $ \left \{ \begin{array}{l} a=x=40+6.\frac { 150 } { 19 }=\frac { 1660 } { 19 } \\ b=y=60-10t=60-10.\frac { 150 } { 19 }=-\frac { 360 } { 19 } \\ c=z=150-15t=150-15.\frac { 150 } { 19 }=\frac { 600 } { 19 } \end{array} \right. $ Vậy $ a+b+c=\frac { 1660-360+600 } { 19 }=\frac { 1900 } { 19 }=100 $