Một chiếc thuyền đang chuyển động đều với vận tốc 10 m/s theo hướng từ Nam lên Bắc trên mặt hồ. Trên cây cầu nằm cách mặt hồ 20m theo phương thẳng đứng, có một chiếc ô tô chuyển động đều với vận tốc 20m/s theo hướng từ Tây sang Đông. Như hình vẽ, tại thời điểm hiện tại, thuyền ở vị trí cách điểm P (nằm dưới cầu) 40 m theo phương Nam, còn ô tô ở vị trí cách Q (trên cầu) 30 m theo phương Tây. (Bỏ qua kích thước của thuyền và ô tô; đoạn thẳng PQ luôn vuông góc với hướng chuyển động của cả thuyền và ô tô) Hỏi: Khoảng cách giữa thuyền và ô tô đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu mét?

Chọn hệ tọa độ như sau trên mặt phẳng ngang (trục $ x $ hướng Đông, trục $ y $ hướng Bắc, gốc $ O $ tại điểm $ P $ ngay trên mặt nước, bên dưới điểm $ Q $ trên cầu): - Điểm $ B_{ 1 } $ là vị trí thuyền lúc $ t=0 $ có tọa độ $ \left ( { 0;-40;0 } \right ) $ vì thuyền cách $ P 40 m $ theo phương Nam - Điểm $ C_{ 1 } $ vị trí ô tô lúc $ t=0 $ có tọa độ $ \left ( { -30;0;20 } \right ) $ vì ô tô cách $ Q $ $ 30 m $ về phía Tây và cao 20m so với mặt nước. Khi $ t $ giây trôi qua: - Thuyền đi lên Bắc với vận tốc $ 10 m/s⇒ $ vị trí $ B\left ( { t } \right )=\left ( { 0;-40+10t;0 } \right ) $ - Ô tô chạy về Đông với vận tốc $ 20 m/s⇒ $ vị trí $ C\left ( { t } \right )=\left ( { -30+20t;0;20 } \right ){ \rm{ } }. $ Khoảng cách bình phương giữa thuyền và ô tô là $ D ^ { 2 } (t)=\left ( { x_{ C } -x_{ B } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ C } -y_{ B } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z_{ C } -z_{ B } } \right ) ^ { 2 } =(-30+20t) ^ { 2 } +(0-(-40+10t)) ^ { 2 } +(20-0) ^ { 2 } . $ Do đó $ D ^ { 2 } (t)=400t ^ { 2 } -1200t+900+100t ^ { 2 } -800t+1600+400=500t ^ { 2 } -2000t+2900. $ Hàm $ D ^ { 2 } (t) $ là hàm bậc hai nên đạt cực tiểu tại $ t_{ 0 } =\frac { -(-2000) } { 2⋅500 }=\frac { 2000 } { 1000 }=2{ \rm{ (giây). } } $ Giá trị nhỏ nhất: $ D_{ \min } ^{ 2 }=500⋅(2) ^ { 2 } -2000⋅2+2900=2000-4000+2900=900\to D_{ \min } =\sqrt[] { 900 }=30( m). $ Vậy khoảng cách nhỏ nhất là 30m.