(Sở Vũng Tàu 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục có độ dài $10\,km$. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá $30\,km$. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí $A(4;2;1)$ đến vị trí $B\left(-1;-\frac{1}{2};\frac{7}{2}\right)$ với vận tốc $80\,km/h$ theo một đường thẳng.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Hai điểm $A, B$ nằm ngoài tầm phát hiện của trạm theo dõi. Đúng. b. Phương trình đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=4+2t \ y=2+t \ z=1-t \end{array} ight.$, $t \in \mathbb{R}$. Đúng. c. Vị trí đầu tiên vệ tinh do thám bị trạm theo dõi phát hiện là $M(0;0;3)$. Sai. d. Vệ tinh do thám bay qua vùng bị phát hiện trong khoảng thời gian ít hơn $15$ phút. Sai. Lời giải: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) $OA = \sqrt{4^2+2^2+1^2} = \sqrt{21} \approx 4,58 	ext{ đv} = 45,8\,km > 30\,km$. $OB = \sqrt{(-1)^2+(-0,5)^2+(3,5)^2} = \sqrt{1+0,25+12,25} = \sqrt{13,5} \approx 3,67 	ext{ đv} = 36,7\,km > 30\,km$. b) $\vec{AB} = (-5; -2,5; 2,5) = -2,5(2; 1; -1)$. $PT: \left\{ \begin{array}{l} x=4+2t \ y=2+t \ z=1-t \end{array} ight.$ c) $M \in AB$ cách $O$ khoảng 3 đv (30km). $OM^2 = (4+2t)^2 + (2+t)^2 + (1-t)^2 = 9$. $16+16t+4t^2 + 4+4t+t^2 + 1-2t+t^2 = 9 \Leftrightarrow 6t^2+18t+12=0 \Leftrightarrow t^2+3t+2=0 \Rightarrow t=-1, t=-2$. Với $t=-1: M_1(2;1;2)$. Với $t=-2: M_2(0;0;3)$. $A(4;2;1)$. $AM_1 = \sqrt{2^2+1^2+1^2} = \sqrt{6}$. $AM_2 = \sqrt{4^2+2^2+2^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. Điểm đầu tiên vệ tinh bị phát hiện là $M_1(2;1;2)$. d) Vệ tinh bay qua vùng phát hiện từ $M_1(2;1;2)$ đến $M_2(0;0;3)$. $d = M_1M_2 = \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{6}$ đv = $10\sqrt{6}\,km$. $t = \frac{10\sqrt{6}}{80} = \frac{\sqrt{6}}{8} \approx 0,306\,h \approx 18,37$ phút.

Cùng dạng: Lập phương trình đường thẳng (qua 2 điểm, qua điểm vuông góc/song song mặt phẳng)