Người ta muốn dựng một cột ăngten trên một sườn đồi. Ăngten được dựng thẳng đứng trong không gian $Oxyz$ với độ dài đơn vị trên mỗi trục bằng 1m. Gọi $O$ là gốc cột, $A$ là điểm buộc dây cáp vào cột ăngten và $M, N$ là hai điểm neo dây cáp xuống mặt sườn đồi (hình vẽ). Cho biết tọa độ các điểm nói trên lần lượt là $O(0; 0; 0), A(0; 0; 8), M(4; -6; 3), N(-4; -3; 2)$. Tính góc tạo bởi sợi dây cáp $MA$ với mặt phẳng sườn đồi (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị độ).

Lời giải Ta có $\vec{MA} = (-4; 6; 5)$, $\vec{OM} = (4; -6; 3)$, $\vec{ON} = (-4; -3; 2)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(OMN)$ là $\vec{n} = [\vec{OM}, \vec{ON}] = (-3; -20; -36)$. Góc $\alpha$ giữa đường thẳng $MA$ và mặt phẳng $(OMN)$ thỏa mãn: $$ \sin\alpha = \frac{|\vec{MA} \cdot \vec{n}|}{|\vec{MA}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|-4(-3) + 6(-20) + 5(-36)|}{\sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + (-20)^2 + (-36)^2}} $$ $$ \sin\alpha = \frac{|12 - 120 - 180|}{\sqrt{77} \cdot \sqrt{1705}} = \frac{288}{\sqrt{131285}} \approx 0,795 $$ Suy ra $\alpha \approx 53^\circ$.