Trắc nghiệm · Câu 106
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l} u_1 = 6 \\ u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \end{array}\right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$\sqrt{6} \le u_n \le 2\sqrt{3}$.
Lời giải
Lời giải
Ta có $u_2 = \sqrt{12} > 3 > \frac{5}{2} > 2$ nên loại các đáp án A, B, C. Chọn D.
Nhận xét: Ta có:
$$
\left\{\begin{array}{l} u_1 = 6 \\ u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n} \end{array}\right. \xrightarrow{} \left\{\begin{array}{l} u_1 = 6 \\ u_{n+1} \ge 0 \end{array}\right. \xrightarrow{} u_n \ge 0 \xrightarrow{} \left\{\begin{array}{l} u_1 = 6 \\ u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n} \ge \sqrt{6} \end{array}\right. \xrightarrow{} u_n \ge \sqrt{6}
$$
Ta chứng minh quy nạp $u_n \le 2\sqrt{3}$.
$$
u_1 \le 2\sqrt{3}; \, u_k \le 2\sqrt{3} \xrightarrow{} u_{k+1} = \sqrt{6 + u_k} \le \sqrt{6 + 2\sqrt{3}} < \sqrt{6 + 6} = 2\sqrt{3}
$$