(HSG Hải Phòng 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho ba điểm $ A\left ( { -2;\,3;\,1 } \right ) $, $ B\left ( { 2;\,1;\,0 } \right ) $, $ C\left ( { -3;\,-1;\,1 } \right ) $. Điểm $ D\left ( { x_{ D } ;\,y_{ D } ;\,z_{ D } } \right ) $ thỏa mãn $ ABCD $ là hình thang với hai đáy $ AD $, $ BC $ và diện tích hình thang $ ABCD $ gấp 3 lần diện tích tam giác $ ABC $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Chọn C Vì $ ABCD $ là hình thang với hai đáy $ AD $, $ BC $ nên $ AD\,{ \rm{ // } }\,BC $. Suy ra $ \overset\rightarrow { u }_{ AD } =\overset\rightarrow { u }_{ BC } =\overset\rightarrow { BC }=\left ( { -5;\,-2;\,1 } \right ) $. Phương trình đường thẳng $ AD $ là $ \left \{ \begin{array}{l} x=-2-5t \\ y=3-2t \\ z=1+t \end{array} \right.\left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $. $ ⇒D\left ( { -2-5t;\,3-2t;\,1+t } \right ) $. Ta có $ S_{ ABCD } =3S_{ ABC } $. $ ⇔S_{ ΔABC } +S_{ ΔACD } =3S_{ ΔABC } $. $ ⇔S_{ ΔACD } =2S_{ ΔABC } $. Diện tích của $ ΔABC $ là $ S_{ ΔABC } =\frac { 1 } { 2 }\left | { \left[ \overset\rightarrow { AB };\,\overset\rightarrow { AC } \right] } \right | =\frac { \sqrt[] { 341 } } { 2 } $. Suy ra $ S_{ ΔACD } =\sqrt[] { 341 } $. Ta có $ \overset\rightarrow { AD }=\left ( { -5t;\,-2t;\,t } \right ) $;$ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { -1;\,-4;\,0 } \right ) $ $ ⇒\left[ \overset\rightarrow { AD };\,\overset\rightarrow { AC } \right]=\left ( { 4t;\,-t;\,18t } \right ) $. $ ⇒\left | { \left[ \overset\rightarrow { AD };\,\overset\rightarrow { AC } \right] } \right |=\sqrt[] { \left ( { 4t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 18t } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 341t ^ { 2 } } $. $ S_{ ΔACD } =\frac { 1 } { 2 }\left | { \left[ \overset\rightarrow { AD };\,\overset\rightarrow { AC } \right] } \right | $. $ ⇔\sqrt[] { 341 }=\frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 341t ^ { 2 } } $. $ ⇔\left[ \begin{array}{l} t=2 \\ t=-2 \end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l} D\left ( { -12;\,-1;\,3 } \right ) \\ D\left ( { 8;\,7;\,-1 } \right ) \end{array} \right. $. Vì $ ABCD $ là hình thang nên $ \overset\rightarrow { AD } $, $ \overset\rightarrow { BC } $ cùng hướng. Suy ra $ D\left ( { -12;\,-1;\,3 } \right ) $ vì $ \overset\rightarrow { AD }=2\overset\rightarrow { BC } $.