Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x-3}{x+1}$ (C) tại một điểm $M$ bất kỳ thuộc đồ thị hàm số cắt đường thẳng $d_1: x = -1$ tại điểm $A$ và cắt đường thẳng $d_2: y = 1$ tại điểm $B$. Tính diện tích của tam giác $IAB$ biết điểm $I(-1; 1)$.

Lời giải Hàm số $y = \frac{x-3}{x+1}$ (C) có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Giả sử $M\Big(a; \frac{a-3}{a+1}\Big)$ là một điểm bất kỳ của đồ thị hàm số. Ta có $y' = \frac{4}{(x+1)^2}$ nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ là: $$ y = \frac{4}{(a+1)^2}(x - a) + \frac{a-3}{a+1} $$ - Tiếp tuyến giao với đường thẳng $x = -1$ tại điểm $A\Big(-1; \frac{a-7}{a+1}\Big) \Rightarrow \overrightarrow{IA} = \Big(0; \frac{-8}{a+1}\Big)$. - Tiếp tuyến giao với đường thẳng $y = 1$ tại điểm $B(2a+1; 1) \Rightarrow \overrightarrow{IB} = (2a+2; 0)$. Dễ thấy $\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB} = 0 \Rightarrow IA \perp IB$. Khi đó tam giác $IAB$ vuông tại $I$ và: $$ IA = \frac{8}{|a+1|}, \quad IB = 2|a+1| $$ Vậy diện tích tam giác $IAB$ là: $$ S = \frac{1}{2} \cdot IA \cdot IB = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{|a+1|} \cdot 2|a+1| = 8 \text{ (đvdt)}. $$