Hằng ngày, bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí $A$ cách vị trí $H$ trên lề đường một khoảng $50$ m để chờ Hùng (như hình vẽ). Khi nhìn thấy Hùng đạp xe từ địa điểm $B$, cách mình một đoạn $200$ m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là $5$ km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là $15$ km/h. Hỏi vị trí $C$ cách vị trí $H$ trên lề đường bao nhiêu mét để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đổi đơn vị vận tốc sang m/phút: - Vận tốc của Hùng: $15\text{ km/h} = \frac{15000}{60}\text{ m/phút} = 250\text{ m/phút}$. - Vận tốc của Minh: $5\text{ km/h} = \frac{5000}{60}\text{ m/phút} = \frac{250}{3}\text{ m/phút}$. Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, biết $AH = 50$ m, $AB = 200$ m. Theo định lí Pythagore: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{200^2 - 50^2} = \sqrt{37500} = 50\sqrt{15}$ m. Đặt $CH = x$ (m), với $0 < x < 50\sqrt{15}$. Khi đó quãng đường bạn Hùng đi từ $B$ đến $C$ là: $BC = BH - CH = 50\sqrt{15} - x$ (m). Quãng đường bạn Minh đi từ $A$ đến $C$ trong tam giác vuông $AHC$ là: $AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{x^2 + 2500}$ (m). Thời gian để Hùng đi từ $B$ đến $C$ là: $t_1 = \frac{50\sqrt{15} - x}{250}$ (phút). Thời gian để Minh đi từ $A$ đến $C$ là: $t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + 2500}}{\frac{250}{3}} = \frac{3\sqrt{x^2 + 2500}}{250}$ (phút). Để hai bạn gặp nhau tại $C$ mà không phải chờ nhau thì $t_1 = t_2$: $\frac{50\sqrt{15} - x}{250} = \frac{3\sqrt{x^2 + 2500}}{250} \Leftrightarrow 50\sqrt{15} - x = 3\sqrt{x^2 + 2500}$ (với $x \le 50\sqrt{15}$). Bình phương hai vế: $(50\sqrt{15} - x)^2 = 9(x^2 + 2500) \Leftrightarrow 37500 - 100\sqrt{15}x + x^2 = 9x^2 + 22500 \Leftrightarrow 8x^2 + 100\sqrt{15}x - 15000 = 0$. Giải phương trình bậc hai này (kết hợp điều kiện $x \le 50\sqrt{15}$), ta được $x = \frac{75\sqrt{7} - 25\sqrt{15}}{4} \approx 25,4$ (thỏa mãn). Vậy vị trí $C$ cách vị trí $H$ khoảng $25,4$ m.