Cho phương trình $\sqrt{2x^2 - 6x + m} = x - 1$. Tổng các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình có một nghiệm duy nhất bằng bao nhiêu?

Phương trình đã cho tương đương với: $\left\{\begin{array}{l} x - 1 \ge 0 \\ 2x^2 - 6x + m = (x - 1)^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge 1 \\ 2x^2 - 6x + m = x^2 - 2x + 1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge 1 \\ x^2 - 4x - 1 = -m \quad (1) \end{array}\right.$ Phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có đúng một nghiệm thỏa mãn $x \ge 1$. Xét hàm số $f(x) = x^2 - 4x - 1$ với $x \ge 1$. Parabol có hoành độ đỉnh $x_I = -\frac{b}{2a} = 2 > 1$, tung độ đỉnh $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 - 1 = -5$. Tại biên $x = 1$, ta có $f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 - 1 = -4$. Bảng biến thiên của hàm số $f(x)$ trên $[1; +\infty)$ như sau: - Hàm số nghịch biến từ $-4$ xuống $-5$ khi $x$ chạy từ $1$ đến $2$. - Hàm số đồng biến từ $-5$ lên $+\infty$ khi $x$ chạy từ $2$ đến $+\infty$. Số nghiệm của phương trình $(1)$ trên $[1; +\infty)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $f(x)$ với đường thẳng $y = -m$. Dựa vào bảng biến thiên, phương trình $(1)$ có đúng một nghiệm thuộc $[1; +\infty)$ khi và chỉ khi: $\left[\begin{array}{l} -m = -5 \\ -m > -4 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 5 \\ m < 4 \end{array}\right.$ Vì $m$ là tham số nguyên dương nên $m \in \{1; 2; 3; 5\}$. Tổng các giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn là: $1 + 2 + 3 + 5 = 11$.