Cho phương trình $\sqrt{x^2 - 8x + m} = 2x - 1$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[-2024; 2025\right]$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Phương trình đã cho tương đương với: $\left\{\begin{array}{l} 2x - 1 \ge 0 \\ x^2 - 8x + m = (2x - 1)^2 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \ge \frac{1}{2} \\ m = 3x^2 + 4x + 1 \quad (*) \end{array}\right.$ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ $(*)$ có nghiệm. Xét hàm số $y = 3x^2 + 4x + 1$ với $x \ge \frac{1}{2}$. Parabol có hoành độ đỉnh $x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3} < \frac{1}{2}$ và hệ số $a = 3 > 0$ nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left[\frac{1}{2}; +\infty\right)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nửa khoảng này là $y\left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{15}{4} = 3{,}75$. Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m \ge \frac{15}{4} = 3{,}75$. Mà $m$ là số nguyên và thuộc đoạn $\left[-2024; 2025\right]$ nên $m \in \{4; 5; 6; \dots; 2025\}$. Số giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $2025 - 4 + 1 = 2022$ giá trị.