Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = 3x + 2y$ biết cặp số $(x; y)$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\begin{cases} 2x + y \ge 14 \\ 2x + 5y \ge 30 \\ 0 \le x \le 10 \\ 0 \le y \le 9 \end{cases}$.

Khi biểu diễn hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, miền nghiệm thu được là miền tứ giác $ABCD$ (kể cả các cạnh ranh giới). Tọa độ các đỉnh của hình tứ giác này lần lượt được xác định là: - $A(5; 4)$ - $B(10; 2)$ - $C(10; 9)$ - $D\left(\frac{5}{2}; 9\right)$ Giá trị của biểu thức biểu thị mục tiêu $F = 3x + 2y$ tại bốn điểm đỉnh này lần lượt là: - Tại $A(5; 4) \implies F(A) = 3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 = 23$ - Tại $B(10; 2) \implies F(B) = 3 \cdot 10 + 2 \cdot 2 = 34$ - Tại $C(10; 9) \implies F(C) = 3 \cdot 10 + 2 \cdot 9 = 48$ - Tại $D\left(\frac{5}{2}; 9\right) \implies F(D) = 3 \cdot \frac{5}{2} + 2 \cdot 9 = \frac{51}{2} = 25,5$ So sánh các giá trị trên, ta thấy biểu thức $F$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $23$ tại vị trí đỉnh $A(5; 4)$.