Trắc nghiệm · Câu 73
Cho lăng trụ $ ABCD.A'B'C'D' $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông tâm$ O $cạnh$ a $. Biết O là hình chiếu của $ A' $ lên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $, mặt phẳng$ \left ( { AA'B'B } \right ) $ hợp với đáy một góc $ 30° $. Thể tích khối lăng trụ $ ABCD.A'B'C'D' $ bằng
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
D.
$ \frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } $
Lời giải
Kẻ $ OM⊥AB⇒OM $ là đường trung bình của $ ΔABC ⇒OM=\frac { AB } { 2 }=\frac { a } { 2 } $.
Ta có $ OM⊥AB,A'O⊥AB⇒AB⊥\left ( { A'OM } \right )⇒A'M⊥AB. $
Vì $ \left ( { AA'B'B } \right )∩\left ( { ABC } \right )=AB,\,A'M⊥AB,OM⊥AB $
$ ⇒\left ( { \left ( { AA'B'B } \right );\left ( { ABCD } \right ) } \right )= \widehat { A'MO }=30° $.
Xét tam giác $ A'MO $ vuông tại $ O $ ta có $ A'O=OM.\tan\, \widehat { A'MO }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 } $.
Ta có $ S_{ ABCD } =a ^ { 2 } $. Vậy $ V_{ ABCD.A'B'C'D' } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } $.