Trắc nghiệm · Câu 72
Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ a $, $ AA'=a $ và đỉnh $ A' $ cách đều $ A,B,C $. Tính thể tích khối lăng trụ $ ABC.A'B'C'. $
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$ \frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 4 } $
Lời giải
Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $, $ H $ là tâm của tam giác đều $ ABC $.
Do $ A' $ cách đều các điểm $ A,B,C $ nên $ A'H⊥\left ( { ABC } \right ) $.
Vì $ ΔABC $ đều cạnh $ a $ nên $ S_{ ΔABC } =\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Ta có $ AH=\frac { 2 } { 3 }AI=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $
Vì $ ΔA'AH $ vuông tại $ A $ nên theo Py ta go ta có $ A'H=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 } $.
Vậy $ V_{ ABC.A'B'C' } =\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 4 } $