(Sở Thanh Hóa 2025) Một nhóm gồm $ n $ học sinh có tên gọi khác nhau, trong đó có $ 3 $ học sinh là An, Bình, Cường. Khi xếp tùy ý n học sinh này vào một dãy ghế theo hàng dọc được đánh số thứ tự, từ $ 1 $ đến $ n $ (mỗi học sinh ngồi một ghế). Xác suất để số ghi trên ghế ngồi của An bằng trung bình cộng số ghi trên ghế ngồi của Bình và Cường là $ \frac { 7 } { 195 } $. Tìm giá trị của $ n $?

Xét phép thử $ T $: “Xếp $ n $ học sinh vào $ n $ ghế được đánh số từ $ 1 $ đến $ n $”, $ n\in \mathbb{N},\,n\geq 3 $ Ta có $ n\left ( { Ω } \right )=n! $. Biến cố $ D $: “Số ghi trên ghế của An bằng trung bình cộng số ghi trên ghế của Bình và Cường”. Gọi $ x;\,y;\,z $ lần lượt là số ghi trên ghế của ba học sinh An, Bình, Cường. Vì $ y+z=2x $, do đó $ y $ và $ z $ cùng tính chẵn - lẻ. Trường hợp 1: $ n=2k;\,\,k\in \mathbb{N}* $. Khi đó từ $ 1 $ đến $ n $ gồm có $ k $ số chẵn và $ k $ số lẻ. Xếp hai học sinh Bình và Cường có $ A_{ k } ^{ 2 }+A_{ k } ^{ 2 }=2.A_{ k } ^{ 2 } $ cách. Xếp học sinh An có 1 cách. Xếp các học sinh còn lại có $ \left ( { 2k-3 } \right )! $ cách. Suy ra $ n\left ( { D } \right )=2.A_{ k } ^{ 2 }.1.\left ( { 2k-3 } \right )! $. Theo đề $ P\left ( { D } \right )=\frac { 7 } { 195 } $ Suy ra $ \frac { 2.A_{ k } ^{ 2 }.1.\left ( { 2k-3 } \right )! } { \left ( { 2k } \right )! }=\frac { 7 } { 195 }⇒\frac { 2.k\left ( { k-1 } \right ) } { 2k\left ( { 2k-1 } \right )\left ( { 2k-2 } \right ) }=\frac { 7 } { 195 }⇒k=\frac { 209 } { 28 }\,\,\left ( { L } \right ) $. Trường hợp 2: $ n=2k+1;\,k\in \mathbb{N}* $. Khi đó từ $ 1 $ đến $ n $ gồm có $ k $ số chẵn và $ k+1 $ số lẻ. Xếp hai học sinh Bình và Cường có $ A_{ k } ^{ 2 }+A_{ k+1 } ^{ 2 } $ cách. Xếp học sinh An có 1 cách. Xếp các học sinh còn lại có $ \left ( { 2k-2 } \right )! $ cách. Suy ra $ n\left ( { D } \right )=\left ( { A_{ k } ^{ 2 }+A_{ k+1 } ^{ 2 } } \right ).1.\left ( { 2k-2 } \right )! $. Theo đề $ P\left ( { D } \right )=\frac { 7 } { 195 } $ Suy ra$ \frac { \left ( { A_{ k } ^{ 2 }+A_{ k+1 } ^{ 2 } } \right )\left ( { 2k-2 } \right )! } { \left ( { 2k+1 } \right )! }=\frac { 7 } { 195 }⇒\frac { k\left ( { k-1 } \right )+\left ( { k+1 } \right )k } { \left ( { 2k+1 } \right ).2k.\left ( { 2k-1 } \right ) }=\frac { 7 } { 195 }⇒\left[ \begin{array}{l} k=7\left ( { N } \right ) \\ k=-\frac { 1 } { 28 }\left ( { L } \right ) \end{array} \right.\, $ Trường hợp này có $ k=7 $ thỏa mãn hay $ n=2.7+1=15 $. Vậy $ n=15 $.