Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $2\sin\Big(4x - \frac{\pi}{3}\Big) - 1 = 0.$

Lời giải Ta có: $$ 2\sin\Big(4x - \frac{\pi}{3}\Big) - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin\Big(4x - \frac{\pi}{3}\Big) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin\Big(4x - \frac{\pi}{3}\Big) = \sin\frac{\pi}{6} $$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 4x - \frac{\pi}{3} &= \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ 4x - \frac{\pi}{3} &= \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} 4x &= \frac{\pi}{2} + k2\pi \\ 4x &= \frac{7\pi}{6} + k2\pi \end{aligned}\right. $$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \\ x &= \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \end{aligned}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ TH1. Với $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$, cho $x > 0$: $$ \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} > 0 \Leftrightarrow k > -\frac{1}{4} \rightarrow k_{\min} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} $$ TH2. Với $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$, cho $x > 0$: $$ \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} > 0 \Leftrightarrow k > -\frac{7}{12} \rightarrow k_{\min} = 0 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{24} $$ So sánh hai giá trị dương nhỏ nhất vừa tìm được ở hai trường hợp, ta có $\frac{\pi}{8} < \frac{7\pi}{24}$. Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là $x = \frac{\pi}{8}$.