(KHTN Hà Nội 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho các điểm $ A\left ( { 1;0;1 } \right );\,B\left ( { 3;0;0 } \right );\,C\left ( { 1;1;0 } \right ) $ và $ D\left ( { 5;1;1 } \right ) $. Tính khoảng cách từ điểm $ D $ đến mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $

Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 2;0;-1 } \right ),\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 0;1;-1 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $: $ \left \{ \begin{array}{l} qua,B\left ( { 3;0;0 } \right ) \\ VTPT,\overset\rightarrow { n }=\left[ \overset→ { AB },\overset→ { AC } \right]=\left ( { 1;2;2 } \right ) \end{array} \right. $. Mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ có dạng: $ 1\left ( { x-3 } \right )+2\left ( { y-0 } \right )+2\left ( { z-0 } \right )=0⇔x+2y+2z-3=0 $. Khi đó khoảng cách từ điểm $ D $ đến mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là:$ d_{ \left ( { D,\left ( { ABC } \right ) } \right ) } =\frac { \left | { 5+2.1+2.1-3 } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=2 $.