(Sở Phú Thọ 2025) Xác suất bé An được mẹ dẫn theo khi đi mua sắm là $ \frac { 2 } { 5 }. $ Khi bé An được đi theo mẹ thì 70% bé sẽ được mua đồ chơi. Khi bé không đi theo mẹ, có thể mẹ vẫn mua đồ chơi cho bé. Xác suất bé được đi theo mẹ biết rằng bé được mẹ mua cho đồ chơi là $ \frac { 14 } { 23 }. $ Khi bé không đi theo mẹ, xác suất bé được mẹ mua cho đồ chơi là bao nhiêu?

Lời giải Gọi $A$ là biến cố “Bé An được mẹ dẫn theo”, $B$ là biến cố “Bé An được mẹ mua đồ chơi”. Ta có: $P(A) = 0,4$, $P(\overline{A}) = 0,6$. $P(B|A) = 0,7$, $P(A|B) = \frac{14}{23}$. Áp dụng công thức Bayes: $$ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} \Rightarrow \frac{14}{23} = \frac{0,4 \cdot 0,7}{P(B)} \Rightarrow P(B) = \frac{0,28 \cdot 23}{14} = 0,02 \cdot 23 = 0,46 $$ Công thức xác suất toàn phần: $$ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) \Rightarrow 0,46 = 0,4 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot P(B|\overline{A}) $$ $$ 0,6 \cdot P(B|\overline{A}) = 0,46 - 0,28 = 0,18 \Rightarrow P(B|\overline{A}) = 0,3 $$