Trong các dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ cho bởi số hạng tổng quát $ u_{ n } $ sau, dãy số nào tăng?

Chọn D * Với $ n∈\left ( { k2π;\,π+k2π } \right ),\,k∈\mathbb{N}⇒sinn>0⇒\frac { sinn } { n }>0 $ và $ n∈\left ( { π+k2π;\,2π+k2π } \right ),\,k∈\mathbb{N}⇒sinn < 0⇒\frac { sinn } { n } < 0 $. Suy ra dãy số trong đáp án A không tăng, không giảm $ → $ loại A * Ta có $ u_{ n } =\frac { \sqrt[] { n ^ { 2 } +1 } } { 2n+1 }=\sqrt[] { \frac { n ^ { 2 } +1 } { \left ( { 2n+1 } \right ) ^ { 2 } } } $. Xét dãy $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ với $ v_{ n } =\frac { n ^ { 2 } +1 } { \left ( { 2n+1 } \right ) ^ { 2 } } $ $ v_{ n+1 } -v_{ n } =\frac { n ^ { 2 } +2n+2 } { 4n ^ { 2 } +12n+9 }-\frac { n ^ { 2 } +1 } { 4n ^ { 2 } +4n+1 }=\frac { 4n ^ { 2 } -2n-7 } { \left ( { 2n+3 } \right ) ^ { 2 } \left ( { 2n+1 } \right ) ^ { 2 } } $ Do $ v_{ n+1 } -v_{ n } $ vừa nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy số $ \left ( { v_{ n } } \right ) $không tăng, không giảm$ → $loại B * $ u_{ n+1 } -u_{ n } =\frac { 3.3 ^ { n } } { \left ( { n+1 } \right ) ^ { 2 } }-\frac { 3 ^ { n } } { n ^ { 2 } }=\frac { 3 ^ { n } \left ( { 2n ^ { 2 } -2n-1 } \right ) } { \left ( { n+1 } \right ) ^ { 2 } n ^ { 2 } } $. Do $ u_{ n+1 } -u_{ n } $ nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy đã cho không tăng, không giảm $ → $ loại C * Theo phương pháp loại trừ ta chọn D