Cho dãy số $ (u_{ n } ) $biết$ (u_{ n } ):\left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =2 \\ u_{ n } =\frac { 3u_{ n-1 } +1 } { 4 }{ \rm{ } }∀n≥2 \end{array} \right. $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Chọn B (Dãy số này cho bởi công thức truy hồi nên ta làm theo cách 3) Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm Ta có $ u_{ n } -u_{ n-1 } =\frac { 3u_{ n-1 } +1 } { 4 }-u_{ n-1 } =\frac { 1-u_{ n-1 } } { 4 } $ Do đó, để chứng minh dãy $ (u_{ n } ) $giảm ta chứng minh $ u_{ n } >1{ \rm{ } }∀n≥1 $ bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy Với $ n=1⇒u_{ 1 } =2>1 $ Giả sử $ u_{ k } >1⇒u_{ k+1 } =\frac { 3u_{ k } +1 } { 4 }>\frac { 3+1 } { 4 }=1 $ Theo nguyên lí quy nạp ta có $ u_{ n } >1{ \rm{ } }∀n≥1 $ Suy ra $ u_{ n } -u_{ n-1 } < 0⇔u_{ n } < u_{ n-1 } { \rm{ } }∀n≥2 $ hay dãy $ (u_{ n } ) $ giảm Giải nhanh: Dãy $ (u_{ n } ) $có dạng $ u_{ n+1 } =au_{ n } +b $ Ở đây $ a=\frac { 3 } { 4 }>0 $và $ u_{ 2 } -u_{ 1 } =\frac { 7 } { 4 }-2=-\frac { 1 } { 4 } < 0 $ Suy ra dãy số giảm Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số $ (u_{ n } ):\left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =c>1 \\ u_{ n } =\frac { au_{ n-1 } +b } { a+b }{ \rm{ ,a,b>0 } } } \right ){ \rm{ } }∀n≥2 \end{array} \right. $giảm tương tự như trên.