Cho dãy số $ (u_{ n } ) $biết $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \ u_{ n+1 } =\sqrt[] { u_{ n } ^{ 2 }+3 },∀n∈\mathbb{N} ^ { * } \end{array} ight. $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Question

Cho dãy số $ (u_{ n } ) $biết $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \ u_{ n+1 } =\sqrt[] { u_{ n } ^{ 2 }+3 },∀n∈\mathbb{N} ^ { * } \end{array} ight. $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Beedemy · Accepted Answer

A. Dãy số tăng Lời giải: Chọn A Ta có $ 0 < u_{ 1 } < u_{ 2 } < u_{ 3 } $. Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp Từ giả thiết thì $ u_{ n } >0,\,∀n∈\mathbb{N} ^ { * } $ Giả sử $ u_{ k } >u_{ k-1 } ,\,k≥2 $. Ta chứng minh $ u_{ k+1 } >u_{ k } $ Thật vậy: $ u_{ k+1 } -u_{ k } =\sqrt[] { u_{ k } ^{ 2 }+3 }-\sqrt[] { u_{ k-1 } ^{ 2 }+3 }=\frac { \left ( { u_{ k } -u_{ k-1 } } \right )\left ( { u_{ k } +u_{ k-1 } } \right ) } { \sqrt[] { u_{ k } ^{ 2 }+3 }+\sqrt[] { u_{ k-1 } ^{ 2 }+3 } }>0⇔u_{ k+1 } >u_{ k } $. vậy dãy đã cho là dãy tăng

Cho dãy số $ (u_{ n } ) $biết $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \\ u_{ n+1 } =\sqrt[] { u_{ n } ^{ 2 }+3 },∀n∈\mathbb{N} ^ { * } \end{array} \right. $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cùng dạng: Dãy số tăng, dãy số giảm — kiểm tra và chứng minh