Trắc nghiệm · Câu 143
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = u_n + 2n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Xác định công thức tính số hạng tổng quát $u_n$ theo $n$ của dãy số.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
$u_n = n^2 - n + 1$
Lời giải
Lời giải
Ta có:
$$
u_{n+1} - u_n = 2n
$$
Từ đó suy ra các hệ thức từ số hạng đầu tiên đến số hạng thứ $n$:
$$
u_2 - u_1 = 2 \cdot 1
$$
$$
u_3 - u_2 = 2 \cdot 2
$$
$$
\dots
$$
$$
u_n - u_{n-1} = 2(n-1)
$$
Cộng từng vế $n-1$ đẳng thức trên, ta được:
$$
u_n - u_1 = 2 \cdot \Big[1 + 2 + \dots + (n-1)\Big]
$$
$$
u_n - 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n^2 - n
$$
$$
u_n = n^2 - n + 1
$$
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được công thức $u_n = n^2 - n + 1$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Vậy $u_n = n^2 - n + 1$.
* **Mở rộng phương pháp:**
* Nếu dãy số $(u_n)$ được cho dưới dạng liệt kê các số hạng đầu thì ta có thể thử giá trị $n$ tương ứng vào từng đáp án để loại trừ.
* Nếu dãy số $(u_n)$ được cho bởi một hệ thức truy hồi, ta có thể tính vài số hạng đầu của dãy số, sau đó thử giá trị $n$ vào từng đáp án để tìm hệ thức đúng.
Chọn **B**.