Xác định công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ cho bởi $u_1 = \frac{1}{2}$ và $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n$.

Lời giải Ta có một số số hạng đầu tiên của dãy số: * Với $n = 1 \Rightarrow u_1 = \frac{1}{2}$ * Với $n = 2 \Rightarrow u_2 = \frac{1}{2}u_1 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$ * Với $n = 3 \Rightarrow u_3 = \frac{1}{2}u_2 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3}$ Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng: $u_n = \frac{1}{2^n}$. Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức đúng. - Với $n = 1 \Rightarrow u_1 = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$ (đúng). Vậy công thức đúng với $n = 1$. - Giả sử công thức đúng với $n = k \in \mathbb{N}^*$, tức là ta có giả thiết quy nạp: $u_k = \frac{1}{2^k}$. - Ta cần chứng minh công thức đúng với $n = k + 1$, tức là chứng minh: $$ u_{k+1} = \frac{1}{2^{k+1}} $$ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số và theo giả thiết quy nạp, ta có: $$ u_{k+1} = \frac{1}{2}u_k = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^{k+1}} $$ Vậy công thức đúng khi $n = k + 1$. Kết luận công thức đúng với mọi số nguyên dương $n$. Chọn **A**.