Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } ight ) $ với $ u_{ n } =\frac { 1 } { n\left ( { n+1 } ight ) } $ và dãy số $ \left ( { v_{ n } } ight ) $ xác định bởi $ \left \{ \begin{array}{l} v_{ 1 } =u_{ 1 } \ v_{ n+1 } =v_{ n } +u_{ n+1 } \end{array} ight.\,\left ( { n≥1 } ight ) $. Xác định công thức tổng quát của dãy $ \left ( { v_{ n } } ight ) $.

Question

Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } ight ) $ với $ u_{ n } =\frac { 1 } { n\left ( { n+1 } ight ) } $ và dãy số $ \left ( { v_{ n } } ight ) $ xác định bởi $ \left \{ \begin{array}{l} v_{ 1 } =u_{ 1 } \ v_{ n+1 } =v_{ n } +u_{ n+1 } \end{array} ight.\,\left ( { n≥1 } ight ) $. Xác định công thức tổng quát của dãy $ \left ( { v_{ n } } ight ) $.

Beedemy · Accepted Answer

D. $ v_{ n } =\frac { n } { n+1 } $. Lời giải: Chọn D Ta có $ v_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 } $ và $ v_{ n+1 } -v_{ n } =u_{ n+1 } $ $ v_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 } \ v_{ 2 } -v_{ 1 } =\frac { 1 } { 2.3 } \ v_{ 3 } -v_{ 2 } =\frac { 1 } { 3.4 } ... \ v_{ n } -v_{ n-1 } =\frac { 1 } { n\left ( { n+1 } ight ) } $ Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được $ v_{ n } =\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2.3 }+\frac { 1 } { 3.4 }+...+\frac { 1 } { n\left ( { n+1 } ight ) } \ \,\,\,\,\,\,=\left ( { 1-\frac { 1 } { 2 } } ight )+\left ( { \frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 3 } } ight )+\left ( { \frac { 1 } { 3 }-\frac { 1 } { 4 } } ight )+...+\left ( { \frac { 1 } { n }-\frac { 1 } { n+1 } } ight )=1-\frac { 1 } { n+1 }=\frac { n } { n+1 } $

Cùng dạng: Tính giá trị số hạng và số thứ tự khi biết công thức tổng quát