Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } ight ) $ xác định bởi $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =u_{ 2 } =1 \ u_{ n } -2u_{ n-1 } +u_{ n-2 } =2 \end{array} ight.\,\,\left ( { n≥3 } ight ) $. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đó.

Question

Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } ight ) $ xác định bởi $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =u_{ 2 } =1 \ u_{ n } -2u_{ n-1 } +u_{ n-2 } =2 \end{array} ight.\,\,\left ( { n≥3 } ight ) $. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đó.

Beedemy · Accepted Answer

D. $ u_{ n } =n ^ { 2 } -3n+3 $. Lời giải: Chọn D Ta có $ u_{ n } -2u_{ n-1 } +u_{ n-2 } =2⇔u_{ n } -u_{ n-1 } =u_{ n-1 } -u_{ n-2 } +2,\,\,n≥3 $ $ \left \} \begin{array}{l} u_{ 3 } -u_{ 2 } =u_{ 2 } -u_{ 1 } +2 \ u_{ 4 } -u_{ 3 } =u_{ 3 } -u_{ 2 } +2 ... \ u_{ n } -u_{ n-1 } =u_{ n-1 } -u_{ n-2 } +2 \end{array} ight.⇒u_{ n } -u_{ 2 } =u_{ n-1 } -u_{ 1 } +2\left ( { n-2 } ight )⇔u_{ n } -u_{ n-1 } =2n-4\,\,\left ( { * } ight )$ Từ $ \left ( { * } ight ) $ và giả thiết ta lại có $ \left \} \begin{array}{l} u_{ 2 } -u_{ 1 } =0 \ u_{ 3 } -u_{ 2 } =2 \ u_{ 4 } -u_{ 3 } =4 ... \ u_{ n } -u_{ n-1 } =2n-4 \end{array} ight.⇒u_{ n } -u_{ 1 } =0+2+4+...+2n-4 \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,⇔u_{ n } -u_{ 1 } =∑ \limits_{ k=2 } ^ n { \left ( { 2k-4 } ight ) }=n ^ { 2 } -3n+2⇔u_{ n } =n ^ { 2 } -3n+3 $

Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ xác định bởi $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =u_{ 2 } =1 \\ u_{ n } -2u_{ n-1 } +u_{ n-2 } =2 \end{array} \right.\,\,\left ( { n≥3 } \right ) $. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đó.

Cùng dạng: Tính giá trị số hạng và số thứ tự khi biết công thức tổng quát