Trắc nghiệm · Câu 90
Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: $(u_n): u_n = \frac{n+1}{n+2}$
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
Tăng, bị chặn.
Lời giải
Lời giải
- **Xét tính tăng, giảm (đơn điệu):**
Ta xét hiệu số hạng liên tiếp $u_{n+1} - u_n$:
$$u_{n+1} - u_n = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} = \frac{(n+2)^2 - (n+3)(n+1)}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{(n+2)(n+3)}$$
Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $(n+2)(n+3) > 0 \Rightarrow u_{n+1} - u_n > 0$ với mọi $n$. Do đó, $(u_n)$ là một dãy số tăng.
- **Xét tính bị chặn:**
Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta luôn có $n + 1 > 0$ và $n + 2 > 0 \Rightarrow u_n = \frac{n+1}{n+2} > 0$ (dãy bị chặn dưới).
Mặt khác, vì $n + 1 < n + 2$ nên $u_n = \frac{n+1}{n+2} < 1$ (dãy bị chặn trên).
Suy ra $0 < u_n < 1$, tức là dãy số $(u_n)$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nên nó là dãy số bị chặn.
Vậy dãy số $(u_n)$ tăng và bị chặn.
Chọn A.