(Sở Hà Tĩnh 2025) Một máy bay trình diễn có đường bay gắn với hệ trục $Oxy$ được mô phỏng như hình vẽ, trục $Ox$ gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất $y = f(x)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 2$. Điểm $G$ là giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục $Ox$ được gọi là điểm giới hạn. Biết máy bay bay từ vị trí $A$ cách tọa độ $O$ một khoảng $2,5$ đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát $1,5$ đơn vị theo phương song song với trục $Ox$ và cách mặt đất $4,5$ đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu?

Lời giải Vì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ (hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất) là $x = 2$. Hàm số có dạng $y = f(x) = ax + b + \frac{c}{x - 2} \; (a < 0)$. Đồ thị hàm số qua điểm $A(\frac{5}{2}; 0)$ và nhận $B(4; \frac{9}{2})$ làm điểm cực trị, suy ra: $$ \left\{ \begin{array}{l} f\left(\frac{5}{2}\right) = 0 \\ f(4) = \frac{9}{2} \\ f'(4) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{2}a + b + 2c = 0 \\ 4a + b + \frac{1}{2}c = \frac{9}{2} \\ a - \frac{1}{4}c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = -1 \\ b = \frac{21}{2} \\ c = -4 \end{array} \right. $$ Khi đó: $f(x) = -x + \frac{21}{2} - \frac{4}{x - 2}$. Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên: $y = -x + \frac{21}{2}$. Tọa độ điểm $G(\frac{21}{2}; 0)$. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ với trục $Ox$ là: $$ -x + \frac{21}{2} - \frac{4}{x - 2} = 0 \Leftrightarrow -x^{2} + \frac{25}{2}x - 25 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2} \\ x = 10 \end{array} \right. $$ Suy ra $C(10; 0)$. Vậy $CG = \frac{21}{2} - 10 = \frac{1}{2} = 0,5$.