(Cụm trường THPT Bắc Ninh 2025) Trong hệ trục tọa độ $ \left ( { Oxy } \right ) $ cho đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ):y=\frac { x ^ { 2 } +x+1 } { x+1 } $ mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá $ A $ và $ B $ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng $ km $). Biết quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Tính khoảng cách ngắn nhất (đơn vị $ km $) giữa hai tàu đánh cá $ A $ và $ B $ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Ta có $ y=\frac { x ^ { 2 } +x+1 } { x+1 } =x+\frac { 1 } { x+1 } $, $ \left ( { x\neq -1 } \right ) $ Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $ x=-1 $, gồm hai nhánh nằm về hai phía của đường thẳng $ x=-1 $. Gọi $ A $ là điểm thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, khi đó $ x_{ A } < -1 $. Đặt $ a=-1-x_{ A } >0⇒x_{ A } =-1-a $ $ ⇒y_{ A } =-1-a+\frac { 1 } { -1-a+1 }=-1-a-\frac { 1 } { a }⇒A\left ( { -1-a\,;-1-a-\frac { 1 } { a } } \right ) $ Gọi $ B $ là điểm thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số, khi đó $ x_{ B } >-1 $. Đặt $ b=x_{ B } +1>0 ⇒x_{ B } =b-1 $ $ ⇒y_{ B } =b-1+\frac { 1 } { b-1+1 }=b-1+\frac { 1 } { b }⇒B\left ( { b-1\,;\,\,b-1+\frac { 1 } { b } } \right ) $ $ ⇒AB ^ { 2 } =\left ( { b+a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b+a+\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { a } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { b+a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b+a } \right ) ^ { 2 } .\left ( { \frac { 1 } { ab } } \right ) ^ { 2 } =(a+b) ^ { 2 } \left ( { 2+\frac { 2 } { ab }+\frac { 1 } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } } \right ) $ Với $ a>0,b>0 $ ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { a+b } \right ) ^ { 2 } \geq 4ab \\ 2+\frac { 1 } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } }\geq 2\sqrt[] { \frac { 2 } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } }=\frac { 2\sqrt[] { 2 } } { ab } \end{array} \right. $ Nên $ AB ^ { 2 } \geq 4ab.\left ( { \frac { 2 } { ab }+\frac { 2\sqrt[] { 2 } } { ab } } \right )=8+8\sqrt[] { 2 }⇒AB\geq \sqrt[] { 8+8\sqrt[] { 2 } }≈4,39 $. Dấu bằng xảy $ { \rm{ ra } }⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=b \\ 2=\frac { 1 } { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } \\ \end{array} ⇔a=b=\frac { 1 } { \sqrt[4] { 2 } } \end{array} \right. $. Vậy khoảng cách ngắn nhất (đơn vị $ km $) giữa hai tàu đánh cá $ A $ và $ B $ là 4,39 (km).