Đúng/Sai · Câu 27
Một hồ nước có diện tích $ 245 m ^ { 2 } $. Thí nghiệm cho thấy bèo phủ mặt hồ trên theo quy luật: diện tích bèo tăng thêm tỉ lệ thuận với diện tích đã có, tức là nếu $ S(t) $ là diện tích bèo đã phủ sau $ t $ ngày thì $ S ^ { ′ } (t)=k⋅S(t)(k\in \mathbb{R}) $. Biết rằng vào thời điểm ban đầu, diện tích bèo phủ $ 10 m ^ { 2 } $ và sau 5 ngày thì bèo đã phủ được $ 50 m ^ { 2 } $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng.
b) Đúng. Theo đề bài, ta có: $ S ^ { ′ } (t)=k⋅S(t)⇒\frac { S ^ { ′ } (t) } { S(t) }=k $
Lấy tích phân hai vế theo $ t $.
Khi đó $ \ln\|S(t)\|=kt+C ^ { ′ } ;S(t)>0{ \rm{ . } } $
Do đó, $ \ln(S(t))=kt+C ^ { ′ } $.
Chuyển về dạng hàm mũ: $ S(t)=e ^ { kt+C ^ { ′ } } =e ^ { C ^ { ′ } } ⋅e ^ { kt } $.
Đặt $ C=e ^ { C ^ { ′ } } $, ta được hàm số diện tích bèo có dạng: $ S(t)=C⋅e ^ { kt } $.
Tìm các hằng số C và k.
Theo đề bài ta có: Tại $ t=0,S(0)=10 m ^ { 2 } $.
$ 10=C⋅e ^ { k⋅0 } ⇒C=10 $
Vậy, hàm số diện tích bèo là $ S(t)=10⋅e ^ { kt } $.
c) Sai. Sử dụng điều kiện sau 5 ngày: Tại $ t=5,S(5)=50 m ^ { 2 } ⇒50=10⋅e ^ { k⋅5 } ⇒k=\frac { \ln(5) } { 5 }≈0,32 $
d) Sai. Sau 9 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị), bèo đã phủ kín mặt hồ. "Phủ kín mặt hồ" có nghĩa là diện tích bèo đạt $ 245 m ^ { 2 } $.
Ta cần tìm $ t $ sao cho $ S(t)=245 $.
$ 245=10⋅e ^ { \frac { \ln(5) } { 5 }t } ⇔24,5=e ^ { \frac { \ln(5) } { 5 }t } $
Lấy logarit tự nhiên hai vế: $ \ln(24,5)=\frac { \ln(5) } { 5 }t⇒t=\frac { 5⋅\ln(24,5) } { \ln(5) }≈9,937 $ ngày.
Làm tròn đến hàng đơn vị, $ t≈10 $ ngày. Vậy sau 10 ngày bèo mới phủ kín mặt hồ nên mệnh đề d) sai.