Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thoả mãn công thức $ N ^ { ′ } (t)=0,2N(t),0\leq t\leq 5, $trong đó $ t $ là thời gian tính theo ngày, $ N(t) $ là số cá thể muỗi tại thời điểm $ t $. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể. Đặt $ y(t)=lnN(t),0\leq t\leq 5 $. Chứng tỏ rằng $ y ^ { ′ } (t)=0,2 $. Từ đó, tìm được $ N(t) $ với $ 0\leq t\leq 5 $. Khí đó, hãy tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Question

Beedemy · Accepted Answer

Đáp án chấp nhận: 3600. Lời giải: $ y ^ { ′ } (t)=[lnN(t)] ^ { ′ } =\frac { N ^ { ′ } (t) } { N(t) }=\frac { 0,2N(t) } { N(t) }=0,2 $. Suy ra $ y(t)=\int y ^ { ′ } (t)dt=\int 0,2dt=0,2t+C $. Do đó, $ lnN(t)=0,2t+C $, suy ra $ N(t)=e ^ { 0,2t+C } =C_{ 0 } ⋅e ^ { 0,2t } $ (với $ C_{ 0 } =e ^ { C } $). Ta có $ N(0)=2000 $, suy ra $ C_{ 0 } =2000 $, suy ra $ N(t)=2000⋅e ^ { 0,2t } ,0\leq t\leq 5 $. $ N(3)=2000⋅e ^ { 0,2⋅3 } ≈3600 $ (cá thể).

Cùng dạng: Tìm nguyên hàm F(x) thỏa mãn điều kiện biên F(x₀) = y₀