Một cái gậy dài 5 mét được tựa vào một bức tường như hình vẽ, bức tường vuông góc với mặt đất. Chân gậy trượt trên mặt đất thì tại thời điểm chân gậy cách bức tường 3 mét thì nó chuyển động với tốc độ $ 10 m/s $. Hỏi tại thời điểm đó, đầu kia của gậy chuyển động với vận tốc bao nhiêu m/s.

Giả sử $ y(t) $ và $ x(t) $ lần lượt là hàm biểu diễn độ dài đoạn $ BO $ và đoạn $ AO $ tại thời điểm $ t $ giây $ (y(t),x(t)>0) $. Khi đó, các hàm $ y ^ { ′ } (t),x ^ { ′ } (t) $ là vận tốc chuyển động tương ứng tại đầu gậy $ B,A $. (ứng dụng của đạo hàm). Từ giả thiết: tại thời điểm (giả sử tại $ t_{ 0 } $ giây) chân gậy cách bức tường 3 m thì nó chuyển động với tốc độ $ 10 m/s $. Ta có $ x\left ( { t_{ 0 } } \right )=3 $ và $ x ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right )=10 $. Yêu cầu bài toán: Tính $ y ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right ) $. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ AOB $, ta có $ x ^ { 2 } (t)+y ^ { 2 } (t)=5 ^ { 2 } =25(*) $. Thay $ t=t_{ 0 } $ vào phương trình (*) ta được $ x ^ { 2 } \left ( { t_{ 0 } } \right )+y ^ { 2 } \left ( { t_{ 0 } } \right )=25⇔3 ^ { 2 } +y ^ { 2 } \left ( { t_{ 0 } } \right )=25⇔y ^ { 2 } \left ( { t_{ 0 } } \right )=16⇔y\left ( { t_{ 0 } } \right )=4 $ Đạo hàm hai vế phương trình (*) theo biến $ t $ ta được $ 2x(t)⋅x ^ { ′ } (t)+2y(t)⋅y ^ { ′ } (t)=0 $ Thay $ t=t_{ 0 } $ vào phương trình trên, ta được $ 2x\left ( { t_{ 0 } } \right )⋅x ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right )+2y\left ( { t_{ 0 } } \right )⋅y ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right )=0⇔2⋅3⋅10+2⋅4⋅y ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right )=0 $ $ ⇔60+8y ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right )=0⇔y ^ { ′ } \left ( { t_{ 0 } } \right )=-7,5 $ Vì vận tốc ở đây không đề cập đến chiều âm hay dương, nên tại thời điểm $ t_{ 0 } $ giây, đầu kia của gậy chuyển động với vận tốc $ 7,5 m/s $.