Bài tự luận · Bài 47
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 47
Hiện tại, giá một cổ phiếu ABC là 20000 đồng và một cổ phiếu DEF là 25000 đồng. Theo các chuyên gia dự đoán, nếu thị trường xấu đi thì sau một năm, giá cổ phiếu ABC và DEF sẽ lần lượt là 21000 đồng và 23000 đồng; còn nếu thị trường tốt lên thì sau một năm, giá cổ phiếu ABC và DEF sẽ lần lượt là 25000 đồng và 34000 đồng. Xác suất thị trường tốt lên và xác suất thị trường xấu đi đều bằng 0,5.
Anh Phước vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để mua cổ phiếu ABC và chị Lộc cũng vay ở ngân hàng đó 100 triệu đồng để mua cổ phiếu DEF. Lãi suất ngân hàng là $ 8\% $ một năm. Sau 1 năm, anh Phước và chị Lộc cùng bán hết số cổ phiếu đã mua. Gọi $ X $ và $ Y $ là số tiền còn lại sau khi trả nợ ngân hàng của anh Phước và chị Lộc. $ X $ và $ Y $ chính là khoản lãi do hoạt động đầu tư mang lại.
a) Căn cứ theo thông tin của chuyên gia, hãy so sánh khoản lãi trung bình của anh Phước và chị Lộc.
b) Giả sử độ rủi ro của một khoản đầu tư được tính bằng tỉ số giữa độ lệch chuẩn của khoản lãi và số tiền mua cổ phiếu ban đầu. Hãy so sánh độ rủi ro của khoản đầu tư của anh Phước và chị Lộc.
Anh Phước vay ở một ngân hàng 100 triệu đồng để mua cổ phiếu ABC và chị Lộc cũng vay ở ngân hàng đó 100 triệu đồng để mua cổ phiếu DEF. Lãi suất ngân hàng là $ 8\% $ một năm. Sau 1 năm, anh Phước và chị Lộc cùng bán hết số cổ phiếu đã mua. Gọi $ X $ và $ Y $ là số tiền còn lại sau khi trả nợ ngân hàng của anh Phước và chị Lộc. $ X $ và $ Y $ chính là khoản lãi do hoạt động đầu tư mang lại.
a) Căn cứ theo thông tin của chuyên gia, hãy so sánh khoản lãi trung bình của anh Phước và chị Lộc.
b) Giả sử độ rủi ro của một khoản đầu tư được tính bằng tỉ số giữa độ lệch chuẩn của khoản lãi và số tiền mua cổ phiếu ban đầu. Hãy so sánh độ rủi ro của khoản đầu tư của anh Phước và chị Lộc.
Xem lời giải
Lời giải
a) Số cổ phiếu ABC anh Phước mua được là $ 100.10 ^ { 6 } :20000=5000 $ (cổ phiếu).
Số tiền vốn và lãi anh Phước phải trả cho ngân hàng sau 1 năm là $ 100\cdot 10 ^ { 6 } \cdot (1+8\%)=108000000 $ (đồng).
Nếu thị thường xấu đi, khoản lãi anh Phước thu được sau 1 năm là
$ X=5000.21000-108000000=-3000000 $ (đồng) với xác suất 0,5
Nếu thị trường tốt lên, khoản lãi anh Phước thu được sau 1 năm là $ X=5000.25000-108000000=17000000 $(đồng) với xác suất 0,5
Ta có bảng phân bố xác suất của $ X $ là
$ X $ -3000000 17000000
$ P $ 0,5 0,5
Kì vọng của $ X $ là $ E(X)=-3000000\cdot 0,5+17000000\cdot 0,5=7000000 $(đồng).
Số cổ phiếu DEF chị Lộc mua được là $ 100\cdot 10 ^ { 6 } :25000=4000 $(cổ phiếu).
Số tiền vốn và lãi chị Lộc phải trả cho ngân hàng sau 1 năm là $ 100\cdot 10 ^ { 6 } \cdot (1+8\%)=108000000 $(đồng).
Nếu thị thường xấu đi, khoản lãi chị Lộc thu được sau 1 năm là
$ Y=4000.23000-108000000=-16000000 $ (đồng) với xác suất 0,5
Nếu thị trường tốt lên, khoản lãi chị Lộc thu được sau 1 năm là
$ Y=4000\cdot 34000-108000000=28000000 $ (đồng) với xác suất 0,5
Ta có bảng phân bố xác suất của $ Y $ là
$ Y $ -16000000 28000000
$ P $ 0,5 0,5
Kì vọng của $ Y $ là
$ E(Y)=-16000000\cdot 0,5+28000000\cdot 0,5=6000000 $ (đồng).
Vậy nếu căn cứ theo thông tin chuyên gia thì khoản lãi trung bình của anh Phước cao hơn của chị Lộc.
b) Phương sai của $ X $ là $ V(X)=(-3000000) ^ { 2 } \cdot 0,5+17000000 ^ { 2 } \cdot 0,5-7000000 ^ { 2 } =100\cdot 10 ^ { 12 } . $
Tỉ số giữa độ lệch chuẩn của khoản lãi và số tiền mua cổ phiếu ban đầu của anh Phước là
$ \frac { \sqrt[] { 100\cdot 10 ^ { 12 } } } { 100\cdot 10 ^ { 6 } }=0,1 $
Phương sai của $ Y $ là
$ V(Y)=(-16000000) ^ { 2 } \cdot 0,5+28000000 ^ { 2 } \cdot 0,5-6000000 ^ { 2 } =484\cdot 10 ^ { 12 } $
Tỉ số giữa độ lệch chuẩn của khoản lãi và số tiền mua cổ phiếu ban đầu của chị Lộc là
$ \frac { \sqrt[] { 484\cdot 10 ^ { 12 } } } { 100\cdot 10 ^ { 6 } }=0,22. $
Vậy khoản đầu tư của chị Lộc có độ rủi ro cao hơn khoản đầu tư của anh Phước.
Số tiền vốn và lãi anh Phước phải trả cho ngân hàng sau 1 năm là $ 100\cdot 10 ^ { 6 } \cdot (1+8\%)=108000000 $ (đồng).
Nếu thị thường xấu đi, khoản lãi anh Phước thu được sau 1 năm là
$ X=5000.21000-108000000=-3000000 $ (đồng) với xác suất 0,5
Nếu thị trường tốt lên, khoản lãi anh Phước thu được sau 1 năm là $ X=5000.25000-108000000=17000000 $(đồng) với xác suất 0,5
Ta có bảng phân bố xác suất của $ X $ là
$ X $ -3000000 17000000
$ P $ 0,5 0,5
Kì vọng của $ X $ là $ E(X)=-3000000\cdot 0,5+17000000\cdot 0,5=7000000 $(đồng).
Số cổ phiếu DEF chị Lộc mua được là $ 100\cdot 10 ^ { 6 } :25000=4000 $(cổ phiếu).
Số tiền vốn và lãi chị Lộc phải trả cho ngân hàng sau 1 năm là $ 100\cdot 10 ^ { 6 } \cdot (1+8\%)=108000000 $(đồng).
Nếu thị thường xấu đi, khoản lãi chị Lộc thu được sau 1 năm là
$ Y=4000.23000-108000000=-16000000 $ (đồng) với xác suất 0,5
Nếu thị trường tốt lên, khoản lãi chị Lộc thu được sau 1 năm là
$ Y=4000\cdot 34000-108000000=28000000 $ (đồng) với xác suất 0,5
Ta có bảng phân bố xác suất của $ Y $ là
$ Y $ -16000000 28000000
$ P $ 0,5 0,5
Kì vọng của $ Y $ là
$ E(Y)=-16000000\cdot 0,5+28000000\cdot 0,5=6000000 $ (đồng).
Vậy nếu căn cứ theo thông tin chuyên gia thì khoản lãi trung bình của anh Phước cao hơn của chị Lộc.
b) Phương sai của $ X $ là $ V(X)=(-3000000) ^ { 2 } \cdot 0,5+17000000 ^ { 2 } \cdot 0,5-7000000 ^ { 2 } =100\cdot 10 ^ { 12 } . $
Tỉ số giữa độ lệch chuẩn của khoản lãi và số tiền mua cổ phiếu ban đầu của anh Phước là
$ \frac { \sqrt[] { 100\cdot 10 ^ { 12 } } } { 100\cdot 10 ^ { 6 } }=0,1 $
Phương sai của $ Y $ là
$ V(Y)=(-16000000) ^ { 2 } \cdot 0,5+28000000 ^ { 2 } \cdot 0,5-6000000 ^ { 2 } =484\cdot 10 ^ { 12 } $
Tỉ số giữa độ lệch chuẩn của khoản lãi và số tiền mua cổ phiếu ban đầu của chị Lộc là
$ \frac { \sqrt[] { 484\cdot 10 ^ { 12 } } } { 100\cdot 10 ^ { 6 } }=0,22. $
Vậy khoản đầu tư của chị Lộc có độ rủi ro cao hơn khoản đầu tư của anh Phước.