Cho tam giác $ ABC $ có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm $ \left ( { O } \right ) $các đường cao $ BE,CF $ cắt nhau tại $ H $. Gọi $ AI $ là đường kính của đường tròn $ \left ( { O } \right ), M $ trung điểm $ BC $. Biết $ AE=5,\, \widehat { \,EAH }=60 ^ { o } $. Tính độ dài $ \overset\rightarrow { OC }+\overset\rightarrow { CH }-\overset\rightarrow { MH } $.

Dựa vào tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AI nên ta có $ BE⊥AC,\,CF⊥AB $. Do đó ta chứng minh được $ BHCI $ là hình bình hành. Từ đó $ M $ là trung điểm $ HI $. Xét $ ΔAHI $ có $ OM $ là đường trung bình $ ⇒OM=\frac { AH } { 2 } $. Ta có $ ΔAHE $vuông tạ E có $ \cos \widehat { EAH }=\frac { AE } { AH }⇒AH=\frac { AE } { \cos60 ^ { o } }=\frac { 5 } { \cos60 ^ { o } }=10. $ Do đó $ \left | { \overset\rightarrow { OC }+\overset\rightarrow { CH }-\overset\rightarrow { MH } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { OH }+\overset\rightarrow { HM } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { OM } } \right |=OM=\frac { AH } { 2 }=5 $.