Ngày nay tỉ lệ $ ^ { 235 } U $ trong một mẫu quặng Urani là $ 0,72\% $ còn lại là $ ^ { 238 } U $. Cho biết chu kì bán rã của $ ^ { 235 } U $ và $ ^ { 238 } U $ lần lượt là $ 7,04.10 ^ { 8 } $ năm và $ 4,46.10 ^ { 9 } $ năm (tức là một lượng chất $ ^ { 235 } U $ và $ ^ { 238 } U $ lần lượt sau $ 7,04.10 ^ { 8 } $ năm và $ 4,46.10 ^ { 9 } $ năm phân hủy còn một nửa). Sự phân hủy này được tính theo công thức $ S=A{ \rm{ e } } ^ { -rt } $, trong đó $ A $ là khối lượng chất phóng xạ Urani ban đầu, $ r $ là tỉ lệ phân hủy hàng năm, $ t $ là thời gian phân hủy, $ S $ là lượng còn lại sau thời gian phân hủy $ t $. Tỉ lệ $ ^ { 235 } U $ trong mẫu quặng Urani nêu trên vào thời kì đầu khi hình thành trái đất cách đây $ 4,5 $ tỉ năm bằng bao nhiêu ? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Vì $ ^ { 235 } U $ có chu kì bán rã là $ 7,04.10 ^ { 8 } $ năm nên $ 2a $ gam sẽ còn lại $ a $ gam. Do đó $ a=2a.{ \rm{ e } } ^ { -r_{ 1 } .7,04,10 ^ { 8 } } $ $ ⇔-r_{ 1 } .7,04,10 ^ { 8 } =\ln\frac { 1 } { 2 } $ $ ⇔r_{ 1 } =\frac { \ln2 } { 7,04,10 ^ { 8 } } $. Vì $ ^ { 238 } U $ có chu kì bán rã là $ 4,46.10 ^ { 9 } $ năm nên $ 2a $ gam sẽ còn lại $ a $ gam.Do đó $ a=2a.{ \rm{ e } } ^ { -r_{ 1 } .4,46.10 ^ { 9 } } $ $ ⇔-r_{ 2 } .4,46.10 ^ { 9 } =\ln\frac { 1 } { 2 } $ $ ⇔r_{ 2 } =\frac { \ln2 } { 4,46.10 ^ { 9 } } $. Gọi $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } $ lần lượt là khối lượng ban đầu của $ ^ { 235 } U $ và $ ^ { 238 } U $. $ S_{ 1 } ,S_{ 2 } $ lần lượt là khối lượng còn lại của $ ^ { 235 } U $ và $ ^ { 238 } U $ ở thời điểm hiện tại. $ \left \{ \begin{array}{l} S_{ 1 } =A_{ 1 } .e ^ { -r_{ 1 } .t } \\ S_{ 2 } =A_{ 2 } .e ^ { -r_{ 2 } .t } \end{array} \right.⇒\frac { S_{ 1 } } { S_{ 2 } }=\frac { A_{ 1 } .e ^ { -r_{ 1 } .t } } { A_{ 2 } .e ^ { -r_{ 2 } .t } }=\frac { A_{ 1 } } { A_{ 2 } }.e ^ { \left ( { r_{ 2 } -r_{ 1 } } \right ).t } ⇒\frac { A_{ 1 } } { A_{ 2 } }=\frac { S_{ 1 } } { S_{ 2 } }.e ^ { \left ( { r_{ 1 } -r_{ 2 } } \right ).t } $. Theo bài ra ta có $ \frac { S_{ 1 } } { S_{ 2 } }=\frac { 0,72\% } { 100\%-0,72\% }=\frac { 0,72 } { 99,28 } $ $ ⇒\frac { A_{ 1 } } { A_{ 2 } }=\frac { 0,72 } { 99,28 }.e ^ { \left ( { r_{ 1 } -e_{ 2 } } \right ).t } ≈0,3⇒A_{ 1 } ≈0,3A_{ 2 } $. + Tỉ lệ $ ⇒\frac { A_{ 1 } } { A_{ 1 } +A_{ 2 } }.100\%≈\frac { 0,3A_{ 2 } } { 0,3A_{ 2 } +A_{ 2 } }.100\%≈23\% $.