Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \end{cases}$ ($t \in \mathbb{R}$). Điểm $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $N$ nhỏ nhất. Tổng hoành độ và tung độ của điểm $N$ bằng bao nhiêu?

Vì điểm $N \in \Delta$ nên tọa độ của $N$ được tham số hóa theo $t$ là $N(1 + t; 1 + 2t)$ với $t \in \mathbb{R}$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0; 0)$ đến điểm $N$ được tính theo công thức: $ON = \sqrt{(1 + t)^2 + (1 + 2t)^2} = \sqrt{t^2 + 2t + 1 + 4t^2 + 4t + 1} = \sqrt{5t^2 + 6t + 2}$. Để khoảng cách $ON$ nhỏ nhất thì biểu thức bậc hai dưới dấu căn phải đạt giá trị nhỏ nhất. Ta biến đổi biểu thức này thành dạng bình phương thiếu: $5t^2 + 6t + 2 = 5\left(t^2 + 2 \cdot t \cdot \frac{3}{5} + \frac{9}{25}\right) - \frac{9}{5} + 2 = 5\left(t + \frac{3}{5}\right)^2 + \frac{1}{5}$. Vì $5\left(t + \frac{3}{5}\right)^2 \ge 0$ với mọi $t$, nên $5t^2 + 6t + 2 \ge \frac{1}{5}$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ON$ là $\frac{\sqrt{5}}{5}$, đạt được khi: $t + \frac{3}{5} = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{3}{5}$. Thay $t = -\frac{3}{5}$ vào tọa độ của điểm $N$, ta tìm được: $\begin{cases} x_N = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \\ y_N = 1 + 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{1}{5} \end{cases} \Rightarrow N\left(\frac{2}{5}; -\frac{1}{5}\right)$. Tổng hoành độ và tung độ của điểm $N$ là: $x_N + y_N = \frac{2}{5} + \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{5} = 0,2$.