Trong hệ trục tọa độ $ { \rm{ O } }xy $, cho hình bình hành $ ABCD $ biết điểm $ A\left ( { 4;5 } \right ),C\left ( { -2;-1 } \right ) $. Gọi $ M $là trung điểm của $ BC $,$ N $ là giao điểm của $ BD $ và $ AM $. Biết $ N(4;1) $, tọa độ điểm $ D $ có dạng $ D\left ( { a;b } \right ),{ \rm{ } }a,b∈Z $. Tính tổng $ a+b? $

Gọi $ I $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $ suy ra $ I $ là trung điểm của $ AC $ Suy ra: $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ I } =\frac { 4-2 } { 2 }=1 \\ y_{ I } =\frac { 5-1 } { 2 }=2 \end{array} \right.⇒I\left ( { 1;2 } \right ) $. Xét tam giác $ ABC $ có $ AM,BI $ là hai trung tuyến cắt nhau tại $ N $ nên $ N $là trọng tâm của tam giác $ ABC $ suy ra $ \overset\rightarrow { IN }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { IB }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { DI } $. Gọi $ D\left ( { x;y } \right )⇒\overset\rightarrow { DI }=\left ( { 1-x;{ \rm{ } }2-y } \right ) $, $ \overset\rightarrow { IN }=\left ( { 3;-1 } \right ) $. Ta có: $ \overset\rightarrow { IN }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { DI }⇔\left \{ \begin{array}{l} 3=\frac { 1 } { 3 }\left ( { 1-x } \right ) \\ -1=\frac { 1 } { 3 }\left ( { 2-y } \right ) \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=-8 \\ y=5 \end{array} \right.⇒D\left ( { -8;5 } \right ) $. Vậy $ a+b=-3. $