Cho lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $. Trên $ A'B' $ kéo dài lấy điểm $ M $ sao cho $ B'M=\frac { 1 } { 2 }A'B' $. Gọi $ N,P $ lần lượt là trung điểm của $ A'C',B'B $. Mặt phẳng $ \left ( { MNP } \right ) $ chia khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $ A' $ có thể tích $ V_{ 1 } $, khối đa diện chứa đỉnh $ C' $ có thể tích $ V_{ 2 } $. Tính tỉ số $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } } $. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Gọi $ MN∩B'C'=\left\{J\right\} $, $ MP∩AB=\left\{K\right\},MP∩AA'=\left\{S\right\} $, $ SN∩AC=\left\{L\right\} $. Suy ra $ J $ là trung điểm $ MN $, $ K $ là trung điểm $ AB $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { V_{ M.PJB' } } { V_{ M.SNA' } }=\frac { MP } { M{ \rm{ S } } }.\frac { MJ } { MN }.\frac { MB' } { MA' }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 3 }=\frac { 1 } { 18 } \\ \frac { V_{ S.ALK } } { V_{ S.A'NM } }=\frac { SA } { SA' }.\frac { SK } { SM }.\frac { SL } { SN }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 3 }=\frac { 1 } { 27 } \end{array} \right. $. Suy ra $ V_{ 1 } =\left ( { 1-\frac { 1 } { 18 }-\frac { 1 } { 27 } } \right )V_{ MA'NS } =\frac { 49 } { 54 }V_{ MA'NS } $. Ta có: $ A'B'=\frac { 2 } { 3 }A'M⇒S_{ ΔA'B'C' } =\frac { 2 } { 3 }S_{ ΔA'MC' } $; $ A'N=\frac { 1 } { 2 }A'C'⇒S_{ ΔA'MC' } =2S_{ ΔMNA' } $ $ ⇒S_{ ΔA'B'C' } =\frac { 2 } { 3 }S_{ ΔA'MC' } =\frac { 2 } { 3 }.2S_{ ΔMNA' } =\frac { 4 } { 3 }S_{ ΔMNA' } $$ ⇒\frac { S_{ ΔMNA' } } { S_{ ΔA'B'C' } }=\frac { 3 } { 4 } $. Mà $ \frac { V_{ S.A'NM } } { V_{ ABC.A'B'C' } }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { SA' } { AA' }.\frac { S_{ ΔMNA' } } { S_{ ΔA'B'C' } }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 3 } { 2 }.\frac { 3 } { 4 }=\frac { 3 } { 8 } $. Suy ra $ V_{ 1 } =\frac { 49 } { 144 }V_{ ABC.A'B'C' } $. Mà $ V_{ 1 } +V_{ 2 } =V_{ ABC.A'B'C' } ⇒V_{ 2 } =\frac { 95 } { 144 }V_{ ABC.A'B'C' } $. Vậy $ \frac { V_{ 1 } } { V_{ 2 } }=\frac { 49 } { 95 }≈0,5 $.