Gọi $ d $ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y=\frac { 2x-1 } { x-1 } $. Biết rằng $ d $ song song với đường thẳng $ x+y-1=0 $và lần lượt cắt các trục $ { \rm{ Ox } },Oy $ tại $ A,B $. Tìm diện tích tam giác $ OAB $ ?

Ta có: $ y'=\frac { -1 } { (x-1) ^ { 2 } },x≠1 $. Gọi $ M_{ 0 } (x_{ 0 } ,y_{ 0 } ) $ là tiếp điểm. Vì $ d $ song song với đường thẳng $ x+y-1=0 $nên hệ số góc của đường thẳng bằng $ -1 $ Ta có: $ y'(x_{ 0 } )=-1⇔ y'=\frac { -1 } { (x-1) ^ { 2 } }=-1⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ 0 } =0 \\ x_{ 0 } =2 \\ \end{array} \right. $ Với $ x_{ 0 } =0,y(x_{ 0 } )=1→ $phương trình đường thẳng $ d $: $ y=-x+1 $(loại) Với $ x_{ 0 } =2,y(x_{ 0 } )=3→ $ phương trình đường thẳng $ d $: $ y=-x+5 $(thỏa mãn) Ta có $ A\left ( { 5;0 } \right ),B\left ( { 0;5 } \right ) $ nên diện tích tam giác bằng $ 12,5 $.