Cổng chào của một trường học có hình dạng là một parabol $ f(x)=-0,5x ^ { 2 } +2mx+3 $. Để trang trí cho cánh cổng này, thầy hiệu trưởng đã căng một sợi dây treo cờ $ d_{ 1 } $ từ mặt đất và tiếp xúc với cánh cổng tại điểm $ A $ có hoành độ bằng 1. Biết rằng $ d_{ 1 } $ đi qua điểm $ B(3,5;0) $. Giá trị của $ m $ là?

Ta có $ f(x)=-0,5x ^ { 2 } +2mx+3⇒f'(x)=-x+2m⇒f'(1)=2m-1 $. Do sợi dây $ d_{ 1 } $ tiếp xúc với cánh cổng tại điểm $ A $ có hoành độ bằng 1 nên $ d_{ 1 } $ chính là tiếp tuyến của parabol $ f(x)=-0,5x ^ { 2 } +2mx+3 $ tại điểm $ A\left ( { 1;f(1) } \right ) $. Do đó, phương trình của $ d_{ 1 } $ là: $ y=f'(1)(x-1)+f(1)=(2m-1)(x-1)+2m+2,5=(2m-1)x+3,5 $. Vì $ B(3,5;0)∈d_{ 1 } $ nên $ 0=(2m-1)3,5+3,5⇔2m-1=-1⇔m=0 $.