Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{ax^{2} + 1} - bx - 2}{4x^{3} - 3x + 1} & \text{khi } x \neq \frac{1}{2} \\ \frac{c}{2} & \text{khi } x = \frac{1}{2} \end{cases}$ với $a, b, c \in \mathbb{R}$. Biết hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$. Tính $S = abc$.

Lời giải Ta biến đổi biểu thức hàm số bằng phương pháp nhân liên hợp: $$ \frac{\sqrt{ax^{2} + 1} - (bx + 2)}{4x^{3} - 3x + 1} = \frac{(ax^{2} + 1) - (bx + 2)^{2}}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\Big(\sqrt{ax^{2} + 1} + bx + 2\Big)} $$ $$ = \frac{(a - b^{2})x^{2} - 4bx - 3}{(2x - 1)^{2}(x + 1)\Big(\sqrt{ax^{2} + 1} + bx + 2\Big)} $$ Để hàm số liên tục tại $x = \frac{1}{2}$, giới hạn của hàm số khi $x \to \frac{1}{2}$ phải tồn tại và hữu hạn. Do dưới mẫu số có tử số $(2x - 1)^{2}$ bằng $0$ tại $x = \frac{1}{2}$, nên tử số phải phân tích được thành dạng $m(2x - 1)^{2}$ và mẫu số phần lượng liên hợp phải khác $0$: $$ \begin{cases} (a - b^{2})x^{2} - 4bx - 3 = m(2x - 1)^{2} = m(4x^{2} - 4x + 1) \\ \sqrt{\frac{a}{4} + 1} + \frac{b}{2} + 2 \neq 0 \end{cases} $$ Đồng nhất hệ thức, ta thu được: $$ \begin{cases} m = -3 \\ -4b = -4m \\ a - b^{2} = 4m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = -3 \\ b = -3 \\ a = -3 \end{cases} $$ Khi đó, ta tính giới hạn: $$ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{-3x^{2}+1}+3x-2}{4x^{3}-3x+1} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-3(2x-1)^{2}}{(2x - 1)^{2}(x + 1)(\sqrt{-3x^{2} + 1} - 3x + 2)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-3}{(x + 1)(\sqrt{-3x^{2} + 1} - 3x + 2)} $$ $$ = \frac{-3}{\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{3}{2} + 2\right)} = \frac{-3}{\frac{3}{2} \cdot 1} = -2 $$ Do đó $\frac{c}{2} = -2 \Rightarrow c = -4$. Vậy $S = abc = (-3)\cdot(-3)\cdot(-4) = -36$.