Hãng taxi Xanh SM đưa ra giá cước dựa trên số quãng đường di chuyển cho bởi hàm $T(x)$ (đồng) khi đi quãng đường $x$ ($\text{km}$) cho loại xe $4$ chỗ như sau: $T(x) = \begin{cases} 15000 & \text{khi } 0 < x \leq 1 \\ a + (x - 1) \cdot 14000 & \text{khi } 1 < x \leq 20 \\ b + (x - 20) \cdot 12000 & \text{khi } x > 20 \end{cases}$. Biết rằng tiền cước được cho bởi hàm liên tục, khi đó $\frac{b}{a}$ bằng bao nhiêu? (lấy kết quả chính xác đến hàng phần chục)

Lời giải Với $x \in (0; 1)$ thì $T(x) = 15000$ liên tục. Với $x \in (1; 20)$ thì $T(x) = a + (x - 1) \cdot 14000$ liên tục. Với $x \in (20; +\infty)$ thì $T(x) = b + (x - 20) \cdot 12000$ liên tục. Để hàm số liên tục trên khoảng dương, nó phải liên tục tại các điểm chuyển giao $x = 1$ và $x = 20$. Tại $x = 1$, ta cần: $$ \lim_{x \to 1^{-}} T(x) = \lim_{x \to 1^{+}} T(x) = T(1) \Rightarrow a = 15000 $$ Tại $x = 20$, ta cần: $$ \lim_{x \to 20^{-}} T(x) = \lim_{x \to 20^{+}} T(x) = T(20) \Rightarrow b = a + (20 - 1) \cdot 14000 $$ $$ \Rightarrow b = 15000 + 19 \cdot 14000 = 281000 $$ Tính tỷ số $\frac{b}{a}$: $$ \frac{b}{a} = \frac{281000}{15000} = \frac{281}{15} \approx 18,7 $$ Vậy tỷ số $\frac{b}{a}$ bằng $18,7$.