Bài tự luận · Bài 36
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 36
Một cửa hàng cho thuê xe ô tô tự lái. Chi phí cửa hàng phải tiêu tốn cho một chiếc xe là a triệu đồng/ngày. Mỗi chiếc xe được cho thuê thì cửa hàng thu về được 1 triệu đồng/ngày. Biết rằng nhu cầu cho thuê trong một ngày là một biến ngẫu nhiên rời rạc $ X $ có bảng phân bố xác suất như sau:
$ X $ 0 1 2 3 4
$ P $ 0,0608 0,1703 0,2384 0,2225 0,308
a) Giả sử cửa hàng có 3 chiếc ô tô cho thuê. Gọi Y là số tiền cửa hàng thu được trong 1 ngày. Lập bảng phân bố xác suất của $ Y $. Hỏi trung bình một ngày cửa hàng thu được bao nhiêu tiền từ việc cho thuê xe?
b) Giả sử cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê. Gọi $ Z $ là số tiền cửa hàng thu được trong 1 ngày. Lập bảng phân bố xác suất của $ Z $. Hỏi trung bình một ngày cửa hàng thu được bao nhiêu tiền từ việc cho thuê xe?
c) Với giá trị nào của a thì cửa hàng chỉ nên duy trì 3 xe ô tô cho thuê?
$ X $ 0 1 2 3 4
$ P $ 0,0608 0,1703 0,2384 0,2225 0,308
a) Giả sử cửa hàng có 3 chiếc ô tô cho thuê. Gọi Y là số tiền cửa hàng thu được trong 1 ngày. Lập bảng phân bố xác suất của $ Y $. Hỏi trung bình một ngày cửa hàng thu được bao nhiêu tiền từ việc cho thuê xe?
b) Giả sử cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê. Gọi $ Z $ là số tiền cửa hàng thu được trong 1 ngày. Lập bảng phân bố xác suất của $ Z $. Hỏi trung bình một ngày cửa hàng thu được bao nhiêu tiền từ việc cho thuê xe?
c) Với giá trị nào của a thì cửa hàng chỉ nên duy trì 3 xe ô tô cho thuê?
Xem lời giải
Lời giải
a) Mỗi ngày cửa hàng phải bỏ ra chi phí là $ 3a $ triệu đồng. Giả sử mỗi người đến thuê một chiếc xe.
Cửa hàng không có ai thuê với xác suất là 0,0608. Khi đó cửa hàng phải trả số tiền là $ 3a $ triệu đồng.
Vậy $ P(Y=-3a)=0,0608 $.
Cửa hàng có một người thuê với xác suất là 0,1703. Khi đó cửa hàng thu được số tiền là $ 1-3a $ triệu đồng.
Vậy $ P(Y=1-3a)=0,1703 $.
Cửa hàng có hai người thuê với xác suất là 0,2384. Khi đó cửa hàng thu được số tiền là $ 2-3a $ triệu đồng.
Cửa hàng có từ 3 hoặc 4 người đến thuê với xác suất là: $ 0,2225+0,308=0,5305 $.
Tuy nhiên củ̉a hàng chỉ có 3 chiếc xe cho thuê nên số tiền cửa hàng thu được $ 3-3a $ triệu đồng.
Bảng phân bố xác suất của $ Y $ là:
$ Y $ $ -3a $ $ 1-3a $ $ 2-3a $ $ 3-3a $
$ P $ 0,0608 0,1703 0,2384 0,5305
Số tiền trung bình củ̉a hàng thu được là:
$ E(Y)=0,0608\cdot (-3a)+0,1703\cdot (1-3a)+0,2384\cdot (2-3a)+0,5305\cdot (3-3a) \\ =-3a(0,0608+0,1703+0,2384+0,5305)+0,1703+2\cdot 0,2384+3\cdot 0,5305 \\ =-3a+2,2386=2,2386-3a $
(triệu đồng)
b) Mỗi ngày cửa hàng phải bỏ ra chi phí là $ 4a $ triệu đồng.
Cửa hàng không có ai thuê với xác suất là 0,0608. Khi đó cửa hàng phải trả $ -4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=-4a)=0,0608 $.
Cửa hàng có một người thuê với xác suất là 0,1703. Khi đó củ̉a hàng thu được $ 1-4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=1-4a)=0,1703 $.
Cửa hàng có hai người thuê với xác suất là 0,2384. Khi đó củ̉a hàng thu được $ 2-4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=2-4a)=0,2384 $.
Cửa hàng có ba người thuê với xác suất là 0,2225. Khi đó củ̉a hàng thu được $ 3-4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=3-4a)=0,2225 $.
Cửa hàng có bốn người đến thuê với xác suất là 0,308. Khi đó của hàng thu được $ 4-4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=4-4a)=0,308 $
Bảng phân bố xác suất của $ Z $ là:
$ Z $ $ -4a $ $ 1-4a $ $ 2-4a $ $ 3-4a $ $ 4-4a $
$ P $ 0,0608 0,1703 0,2384 0,2225 0,308
Số tiền trung bình cửa hàng thu được là:
$ E(Z)=0,0608\cdot (-4a)+0,1703\cdot (1-4a)+0,2384\cdot (2-4a)+0,2225\cdot (3-4a)+0,308\cdot (4-4a) \\ =-4a+1\cdot 0,1703+2\cdot 0,2384+3\cdot 0,2225+4\cdot 0,308 \\ =-4a+2,5466=2,5466-4a{ \rm{ } } $
(triệu đồng)
c)
Cửa hàng chỉ nên duy trì 3 xe cho thuê nếu $ E(Y)>E(Z) $
$ \Rightarrow 2,2386-3a>2,5466-4a\Rightarrow a>2,5466-2,2386=0,308. $
Cửa hàng không có ai thuê với xác suất là 0,0608. Khi đó cửa hàng phải trả số tiền là $ 3a $ triệu đồng.
Vậy $ P(Y=-3a)=0,0608 $.
Cửa hàng có một người thuê với xác suất là 0,1703. Khi đó cửa hàng thu được số tiền là $ 1-3a $ triệu đồng.
Vậy $ P(Y=1-3a)=0,1703 $.
Cửa hàng có hai người thuê với xác suất là 0,2384. Khi đó cửa hàng thu được số tiền là $ 2-3a $ triệu đồng.
Cửa hàng có từ 3 hoặc 4 người đến thuê với xác suất là: $ 0,2225+0,308=0,5305 $.
Tuy nhiên củ̉a hàng chỉ có 3 chiếc xe cho thuê nên số tiền cửa hàng thu được $ 3-3a $ triệu đồng.
Bảng phân bố xác suất của $ Y $ là:
$ Y $ $ -3a $ $ 1-3a $ $ 2-3a $ $ 3-3a $
$ P $ 0,0608 0,1703 0,2384 0,5305
Số tiền trung bình củ̉a hàng thu được là:
$ E(Y)=0,0608\cdot (-3a)+0,1703\cdot (1-3a)+0,2384\cdot (2-3a)+0,5305\cdot (3-3a) \\ =-3a(0,0608+0,1703+0,2384+0,5305)+0,1703+2\cdot 0,2384+3\cdot 0,5305 \\ =-3a+2,2386=2,2386-3a $
(triệu đồng)
b) Mỗi ngày cửa hàng phải bỏ ra chi phí là $ 4a $ triệu đồng.
Cửa hàng không có ai thuê với xác suất là 0,0608. Khi đó cửa hàng phải trả $ -4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=-4a)=0,0608 $.
Cửa hàng có một người thuê với xác suất là 0,1703. Khi đó củ̉a hàng thu được $ 1-4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=1-4a)=0,1703 $.
Cửa hàng có hai người thuê với xác suất là 0,2384. Khi đó củ̉a hàng thu được $ 2-4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=2-4a)=0,2384 $.
Cửa hàng có ba người thuê với xác suất là 0,2225. Khi đó củ̉a hàng thu được $ 3-4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=3-4a)=0,2225 $.
Cửa hàng có bốn người đến thuê với xác suất là 0,308. Khi đó của hàng thu được $ 4-4a $ triệu đồng. Vậy $ P(Z=4-4a)=0,308 $
Bảng phân bố xác suất của $ Z $ là:
$ Z $ $ -4a $ $ 1-4a $ $ 2-4a $ $ 3-4a $ $ 4-4a $
$ P $ 0,0608 0,1703 0,2384 0,2225 0,308
Số tiền trung bình cửa hàng thu được là:
$ E(Z)=0,0608\cdot (-4a)+0,1703\cdot (1-4a)+0,2384\cdot (2-4a)+0,2225\cdot (3-4a)+0,308\cdot (4-4a) \\ =-4a+1\cdot 0,1703+2\cdot 0,2384+3\cdot 0,2225+4\cdot 0,308 \\ =-4a+2,5466=2,5466-4a{ \rm{ } } $
(triệu đồng)
c)
Cửa hàng chỉ nên duy trì 3 xe cho thuê nếu $ E(Y)>E(Z) $
$ \Rightarrow 2,2386-3a>2,5466-4a\Rightarrow a>2,5466-2,2386=0,308. $