Cho hình vuông $ ABCD $ tâm $ O $ cạnh $ a $. Gọi $ M $và $ N $ lần lượt là trung điểm của $ AD,AB $. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

a) Sai. Ta có $ AC=\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $. $ \overset\rightarrow { AO }.\overset\rightarrow { CA }=-\overset\rightarrow { AO }.\overset\rightarrow { AC }=-AO.AC.\cos0 ^ { 0 } =-\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }.a\sqrt[] { 2 }=-a ^ { 2 } $. b) Đúng. $ \overset\rightarrow { CM }.\overset\rightarrow { AD }=\left ( { \overset\rightarrow { AM }-\overset\rightarrow { AC } } \right ).\overset\rightarrow { AD }=\overset\rightarrow { AM }.\overset\rightarrow { AD }-\overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { AD }=AM.AD.\cos0 ^ { 0 } -AC.AD.\cos45 ^ { 0 } $ $ =\frac { a } { 2 }.a-a\sqrt[] { 2 }.a.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { a ^ { 2 } } { 2 }-a ^ { 2 } =-\frac { a ^ { 2 } } { 2 } $. c) Đúng. $ \overset\rightarrow { CM }.\overset\rightarrow { DN }=\left ( { \overset\rightarrow { AM }-\overset\rightarrow { AC } } \right ).\left ( { \overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AD } } \right )=\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }-\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AD } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AD } } \right ) $ $ =\left ( { -\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD }-\overset\rightarrow { AB } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AD } } \right )=-\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { AD }.\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }AD ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }AB ^ { 2 } +\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AD } $ $ =-\frac { 1 } { 4 }AD.AB.\cos90 ^ { 0 } +\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }a ^ { 2 } +AB.AD.\cos90 ^ { 0 } =0 $ Do đó $ CM⊥DN $. d) Đúng. Gọi $ G $là trọng tâm tam giác $ ADC $. Ta có $ GA=GC=\sqrt[] { OG ^ { 2 } +OC ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 5 }a } { 3 } $; $ GD=\frac { 2 } { 3 }OD=\frac { 2 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 3 } $ Do đó $ KA ^ { 2 } +KD ^ { 2 } +KC ^ { 2 } =10a ^ { 2 } ⇔\left ( { \overset\rightarrow { KG }+\overset\rightarrow { GA } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \overset\rightarrow { KG }+\overset\rightarrow { GD } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \overset\rightarrow { KG }+\overset\rightarrow { GC } } \right ) ^ { 2 } =10a ^ { 2 } $. $ ⇔3KG ^ { 2 } +GA ^ { 2 } +GD ^ { 2 } +GC ^ { 2 } +2\overset\rightarrow { KG }.\left ( { \overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { GC } } \right )=10a ^ { 2 } $ $ ⇔3KG ^ { 2 } +\frac { 5a ^ { 2 } } { 9 }+\frac { 2a ^ { 2 } } { 9 }+\frac { 5a ^ { 2 } } { 9 }+0=10a ^ { 2 } ⇔KG=\frac { \sqrt[] { 26 } } { 3 }a $. Suy ra tập hợp điểm $ K $ thỏa mãn $ KA ^ { 2 } +KD ^ { 2 } +KC ^ { 2 } =10a ^ { 2 } $ là đường tròn tâm $ G $ bán kính bằng $ \frac { \sqrt[] { 26 } } { 3 } $.