Cho $ ΔABC $ có hai đường trung tuyến kẻ từ$ B $và kẻ từ $ C $ vuông góc với nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của $ cosA $.

Gọi $ M,\,N $thứ tự là trung điểm của cạnh $ AC,\,AB $ và $ G $là trọng tâm $ ΔABC $. Theo định lý cosin trong$ ΔABM $ ta có $ BM ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +MA ^ { 2 } -2AB.AM.cosA \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=AB ^ { 2 } +\frac { 1 } { 4 }AC ^ { 2 } -2AB.\frac { 1 } { 2 }AC.\frac { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -BC ^ { 2 } } { 2AB.AC } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac { 1 } { 2 }\left ( { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }AC ^ { 2 } $ Tương tự ta có $ CN ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { AC ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }AB ^ { 2 } $ Vì $ ΔABC $ có hai đường trung tuyến kẻ từ$ B $và kẻ từ $ C $ vuông góc với nhau $ ⇔GB ^ { 2 } +GC ^ { 2 } =CB ^ { 2 } $ $ ⇔\frac { 4 } { 9 }\left ( { MB ^ { 2 } +NC ^ { 2 } } \right )=CB ^ { 2 } \\ ⇔\frac { 4 } { 9 }\left[ \frac { 1 } { 2 }\left ( { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }AC ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }\left ( { AC ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }AB ^ { 2 } \right]=CB ^ { 2 } \\ ⇔CB ^ { 2 } =\frac { 1 } { 5 }\left ( { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } \right ) $ $ ⇒cosA=\frac { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -BC ^ { 2 } } { 2AB.AC }=\frac { 2\left ( { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } } \right ) } { 5AB.AC }≥\frac { 4AB.AC } { 5AB.AC }=\frac { 4 } { 5 } $ Vậy giá trị nhỏ nhất của $ cosA=\frac { 4 } { 5 }=0,8 $