Cho tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ A $ và $ M $ là điểm nằm trong tam giác $ ABC $ sao cho $ MA:MB:MC=1:2:3 $ khi đó góc $ AMB $ bằng bao nhiêu?

$ MB=x ⇔MA=2x $; $ MC=3x $ với $ 0 < x < BC=\sqrt[] { 2 } $. Ta có $ \cos \widehat { BAM }=\frac { 1+4x ^ { 2 } -x ^ { 2 } } { 2.1.2x }=\frac { 3x ^ { 2 } +1 } { 4x } $ $ \cos \widehat { MAC }=\frac { 1+4x ^ { 2 } -9x ^ { 2 } } { 4x }=\frac { 1-5x ^ { 2 } } { 4x } $. $ ⇒\left ( { \frac { 3x ^ { 2 } +1 } { 4x } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1-5x ^ { 2 } } { 4x } } \right ) ^ { 2 } =1 ⇒9x ^ { 4 } +6x ^ { 2 } +1+1-10x ^ { 2 } +25x ^ { 4 } =16 $. $ ⇒34x ^ { 4 } -20x ^ { 2 } +2=0 ⇔\left[ \begin{array}{l} x ^ { 2 } =\frac { 5+2\sqrt[] { 2 } } { 17 }>\frac { 1 } { 5 }(l) \\ x ^ { 2 } =\frac { 5-2\sqrt[] { 2 } } { 17 } \end{array} \right. $. $ ⇒\cos \widehat { AMB }=\frac { AM ^ { 2 } +BM ^ { 2 } -AB ^ { 2 } } { 2AM.BM } =\frac { 4x ^ { 2 } +x ^ { 2 } -1 } { 2.2x.x } $ $ =\frac { 5x ^ { 2 } -1 } { 4x ^ { 2 } } =\left ( { \frac { 25-10\sqrt[] { 2 } } { 17 }-1 } \right ):\frac { 20-8\sqrt[] { 2 } } { 17 } =\frac { -\sqrt[] { 2 } } { 2 } $. Vậy $ \widehat { AMB }=135° $.