Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a $. Hình chiếu vuông góc của $ S $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ là điểm $ H $ thuộc cạnh $ AB $ sao cho $ HA=2HB $. Góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 60 ^ { \circ } $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SA $ và $ BC $ bằng $ ma $. Tính giá trị của $ m $(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

$ SH⊥\left ( { ABC } \right )⇒\left ( { SC,\left ( { ABC } \right ) } \right )=\left ( { SC,HC } \right )= \widehat { SCH }=60 ^ { \circ } $. $ HC ^ { 2 } =HB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } -2.HB.BC.{ \rm{ \cos } } \widehat { HBC }=\left ( { \frac { a } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +a ^ { 2 } -2.\frac { a } { 3 }.a.{ \rm{ \cos } }60 ^ { \circ } . $ $ ⇒HC=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 3 } $. $ ⇒SH=HC.\tan60 ^ { \circ } =\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 3 } $. Từ $ A $ kẻ đường thẳng $ d $//$ BC $. Trên đường thẳng $ d $, xác định điểm $ D $ sao cho tứ giác $ ACBD $ là hình bình hành. Từ $ H $, kẻ $ HK⊥AD{ \rm{ } }\left ( { K\in AD } \right ) ⇒AD⊥\left ( { SHK } \right ) $. Từ $ H $, kẻ $ HI⊥SK{ \rm{ } }\left ( { I\in SK } \right ) ⇒HI⊥\left ( { SAD } \right ) $. Vì $ BC//AD⊂\left ( { SAD } \right )⇒BC//\left ( { SAD } \right )⇒{ \rm{ d } }\left ( { SA,BC } \right )={ \rm{ d } }\left ( { BC,\left ( { SAD } \right ) } \right )={ \rm{ d } }\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right ) $. Ta tính được $ HK=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ (khoảng cách từ $ H $ đến đường thẳng $ AD $ trong mặt phẳng đáy). $ HI=\frac { SH.HK } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +HK ^ { 2 } } }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 21 } } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } { \sqrt[] { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 21 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 42 } } { 12 } $. Vì $ HA=2HB⇒\frac { { \rm{ d } }\left ( { H,\left ( { SAD } \right ) } \right ) } { { \rm{ d } }\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right ) }=\frac { AH } { AB }=\frac { 2 } { 3 }⇒{ \rm{ d } }\left ( { B,\left ( { SAD } \right ) } \right )=\frac { 3 } { 2 }HI=\frac { 3 } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 42 } } { 12 }=\frac { a\sqrt[] { 42 } } { 8 } $. Vậy $ { \rm{ d } }\left ( { SA,BC } \right )=\frac { a\sqrt[] { 42 } } { 8 }⇒m=\frac { \sqrt[] { 42 } } { 8 }≈0,81 $.