(Sở Lạng Sơn 2025) Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ 2\sqrt[] { 3 }, $ cạnh bên $ AA'=3. $ Gọi $ M,N $ theo thứ tự là trung điểm $ BC,B'C'. $ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AM $ và $ CN. $

Trong mặt phẳng $ (BB'C'C), $ kẻ $ MH⊥CN. $ Ta có: $ ΔABC $ đều nên $ AM⊥BC $ $ ABC.A'B'C' $ là lăng trụ đứng nên $ BB'⊥(ABC)⇒AM⊥BB' $ $ ⇒AM⊥(BB'C'C)⇒AM⊥MH. $ Như vậy $ MH $ là đoạn vuông góc chung của $ AM,CN $ $ { \rm{ hay d } }(AM,CN)=MH=\sqrt[] { \frac { MC ^ { 2 } .MN ^ { 2 } } { MC ^ { 2 } +MN ^ { 2 } } }=\sqrt[] { \frac { 3.9 } { 3+9 } }=\frac { 3 } { 2 }=1,5. $