Biểu thức $ F=2\left( y-x \right) $ đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện $ \left\{ \begin{array}{l} -2x+y \le -4 \\ x-2y \le 4 \\ x+y \le 6 \\ x \ge 0 \end{array} \right. $ tại điểm $ \left( x_{0};y_{0} \right) $. Khi đó $ x_{0}+y_{0} $ bằng

Vẽ các đường thẳng: $ d_{1}: -2x+y+4=0 $ $ d_{2}: x-2y-4=0 $ $ d_{3}: x+y-6=0 $ $ Oy: x=0 $ Các đường thẳng trên đôi một cắt nhau tại các giao điểm: $ A\left( \frac{4}{3}; -\frac{4}{3} \right) $ là giao điểm của $ d_{1} $ và $ d_{2} $ $ B\left( \frac{10}{3}; \frac{8}{3} \right) $ là giao điểm của $ d_{1} $ và $ d_{3} $ $ C\left( \frac{16}{3}; \frac{2}{3} \right) $ là giao điểm của $ d_{2} $ và $ d_{3} $ Vì điểm $ M_{0}(3;1) $ có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác $ ABC $ (tính cả các cạnh). Tính giá trị của biểu thức $ F(x;y) = 2(y-x) $ tại các đỉnh: $ F(A) = 2\left( -\frac{4}{3} - \frac{4}{3} \right) = -\frac{16}{3} $ $ F(B) = 2\left( \frac{8}{3} - \frac{10}{3} \right) = -\frac{4}{3} $ $ F(C) = 2\left( \frac{2}{3} - \frac{16}{3} \right) = -\frac{28}{3} $ Vì $ -\frac{28}{3} < -\frac{16}{3} < -\frac{4}{3} $ nên biểu thức $ F $ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $ C\left( \frac{16}{3}; \frac{2}{3} \right) $. Do đó $ x_{0}+y_{0} = \frac{16}{3}+\frac{2}{3} = 6 $.